Fresnel integralleri nedir?
Fresnel integralleri \(S(x)\) ve \(C(x)\), optikte (kenar ve açıklıklarda görülen yakın alan kırınımı), elektromanyetikte ve karayolu ile demiryolu geçiş eğrilerinin tasarımında sıkça karşımıza çıkan özel fonksiyonlardır. \(C(x)\) değerini yatay eksene, \(S(x)\) değerini ise dikey eksene yerleştirdiğinizde zarif Cornu (Euler) spirali ortaya çıkar. Bu hesaplama aracı, her iki integrali de herhangi bir gerçek \(x\) argümanı için hesaplar.
Formül ve kullanılan biçimler
Bu araç, en yaygın kullanılan form olan normalize (pi/2) biçimini varsayılan olarak kullanır:
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
Normalize olmayan seçenek ise integrand argümanı olan \(\frac{\pi}{2}t^{2}\) yerine yalnızca \(t^{2}\) kullanır: $$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(t^{2}\right)dt$$ Her iki fonksiyon da tektir: \(S(-x) = -S(x)\) ve \(C(-x) = -C(x)\). \(x\), \(+\infty\)'a yaklaştıkça hem \(S\) hem de \(C\) \(\frac{1}{2}\) değerine yakınsar.
Nasıl kullanılır?
\(x\) değerinizi girin, biçimi seçin ve birkaç anlamlı basamağa kadar \(S(x)\) ile \(C(x)\) sonuçlarını okuyun. \(x = 0\) için her iki integral de tam olarak \(0\)'dır. Negatif argümanlar, teklik özelliği sayesinde otomatik olarak işlenir.
Hesaplama nasıl yapılır?
Temel düzeyde kapalı bir formül bulunmadığından, hesaplama aracı \([0, |x|]\) aralığında ince bir ızgarayla (en az 1000 alt aralık; \(|x|\) büyüdükçe giderek hızlanan salınımı izleyebilmek için bu sayı da artar) bileşik Simpson kuralını kullanır. İntegrandlar tek olduğundan \(x\)'in işareti sonradan uygulanır. Bu yaklaşım, orta büyüklükteki \(|x|\) değerleri için yayımlanmış referans değerlerini yaklaşık altı ondalık basamağa kadar yeniden üretir.
Çözümlü örnek
Normalize biçimde \(x = 1\) için: \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt \approx 0{,}7798934\) ve \(S(1) \approx 0{,}4382591\) değerindedir. \(x = 2\) için \(C(2) \approx 0{,}488253\) ve \(S(2) \approx 0{,}343416\) olur.
Sık sorulan sorular
Hangi biçimi kullanmalıyım? Fizik ve mühendislik kaynaklarının çoğu (ve kırınım tabloları) normalize \(\frac{\pi}{2}\) biçimini kullanır; bu da burada varsayılan seçenektir.
Cornu spirali nedir? \((C(x), S(x))\) parametrik eğrisidir; \(x\) büyüdükçe \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) ve \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\) noktalarına doğru sarmal çizer.
Sonuç ne kadar doğru? Seçilen ızgarayla Simpson kuralı, \(|x|\) değeri yaklaşık 6'ya kadar olduğunda referans tablolarıyla genellikle altı ondalık basamağa kadar örtüşür.
