फ्रेनेल इंटीग्रल क्या हैं?
फ्रेनेल इंटीग्रल \(S(x)\) और \(C(x)\) ऐसे विशेष फलन (स्पेशल फंक्शन) हैं जो प्रकाशिकी (किनारों और छिद्रों पर निकट-क्षेत्र विवर्तन यानी near-field diffraction), विद्युत-चुंबकत्व, तथा हाईवे एवं रेलवे के ट्रांज़िशन कर्व की डिज़ाइन में बार-बार सामने आते हैं। यदि क्षैतिज अक्ष पर \(C(x)\) और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर \(S(x)\) को प्लॉट करें, तो एक सुंदर वक्र बनता है जिसे कॉर्नू (ऑयलर) स्पाइरल कहते हैं। यह कैलकुलेटर किसी भी वास्तविक आर्गुमेंट \(x\) के लिए दोनों इंटीग्रल की गणना करता है।
सूत्र और कन्वेंशन
यह टूल डिफ़ॉल्ट रूप से नॉर्मलाइज़्ड (pi/2) कन्वेंशन का उपयोग करता है, जो सबसे प्रचलित रूप है:
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
एक अननॉर्मलाइज़्ड विकल्प भी है, जिसमें इंटीग्रैंड के आर्गुमेंट \((\pi/2)t^{2}\) के बजाय केवल \(t^{2}\) लिया जाता है। दोनों फलन विषम (odd) होते हैं: \(S(-x) = -S(x)\) और \(C(-x) = -C(x)\)। जब \(x\) का मान \(+\infty\) की ओर बढ़ता है, तो \(S\) और \(C\) दोनों \(1/2\) के निकट पहुँच जाते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
\(x\) का मान दर्ज करें, कन्वेंशन चुनें, और कई सार्थक अंकों तक \(S(x)\) तथा \(C(x)\) का मान देखें। \(x = 0\) पर दोनों इंटीग्रल बिल्कुल \(0\) होते हैं। ऋणात्मक आर्गुमेंट के लिए विषम-गुण (oddness) अपने-आप लागू हो जाता है।
गणना कैसे होती है
इसका कोई प्रारंभिक (elementary) बंद-रूप सूत्र मौजूद नहीं है, इसलिए कैलकुलेटर \([0, |x|]\) अंतराल पर सूक्ष्म ग्रिड के साथ संयुक्त सिम्पसन नियम (composite Simpson's rule) का उपयोग करता है (कम-से-कम 1000 उप-अंतराल, जो \(|x|\) के साथ बढ़ते हैं ताकि तेज़ी से बढ़ते दोलन को सही पकड़ा जा सके)। \(x\) का चिह्न बाद में लगाया जाता है, क्योंकि इंटीग्रैंड विषम होते हैं। मध्यम \(|x|\) के लिए यह प्रकाशित संदर्भ मानों से लगभग छह दशमलव स्थानों तक मेल खाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
नॉर्मलाइज़्ड कन्वेंशन में \(x = 1\) के लिए: \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt\) लगभग \(0.7798934\) है, और \(S(1)\) लगभग \(0.4382591\) है। \(x = 2\) पर \(C(2)\) लगभग \(0.488253\) और \(S(2)\) लगभग \(0.343416\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मुझे कौन-सा कन्वेंशन इस्तेमाल करना चाहिए? अधिकांश भौतिकी और इंजीनियरिंग की पुस्तकें (तथा विवर्तन तालिकाएँ) नॉर्मलाइज़्ड pi/2 रूप का उपयोग करती हैं, जो यहाँ डिफ़ॉल्ट है।
कॉर्नू स्पाइरल क्या है? यह पैरामीट्रिक वक्र \((C(x), S(x))\) है; जैसे-जैसे \(x\) बड़ा होता है, यह \((1/2, 1/2)\) और \((-1/2, -1/2)\) बिंदुओं की ओर सर्पिल रूप में सिकुड़ता जाता है।
परिणाम कितना सटीक है? चुनी गई ग्रिड के साथ सिम्पसन नियम सामान्यतः \(|x|\) के लगभग 6 तक के मानों के लिए संदर्भ तालिकाओं से करीब छह दशमलव अंकों तक मेल खाता है।
