फ्रेनेल इंटीग्रल क्या हैं?

फ्रेनेल इंटीग्रल $S(x)$ और $C(x)$ ऐसे विशेष फलन (स्पेशल फंक्शन) हैं जो प्रकाशिकी (किनारों और छिद्रों पर निकट-क्षेत्र विवर्तन यानी near-field diffraction), विद्युत-चुंबकत्व, तथा हाईवे एवं रेलवे के ट्रांज़िशन कर्व की डिज़ाइन में बार-बार सामने आते हैं। यदि क्षैतिज अक्ष पर $C(x)$ और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $S(x)$ को प्लॉट करें, तो एक सुंदर वक्र बनता है जिसे कॉर्नू (ऑयलर) स्पाइरल कहते हैं। यह कैलकुलेटर किसी भी वास्तविक आर्गुमेंट $x$ के लिए दोनों इंटीग्रल की गणना करता है।

0.5 की ओर अभिसरित होते फ्रेनेल साइन और कोसाइन समाकलों के ग्राफ — $x$ बढ़ने पर $S(x)$ और $C(x)$ दोनों दोलन करते हैं और $1/2$ की ओर अभिसरित होते हैं।

सूत्र और कन्वेंशन

यह टूल डिफ़ॉल्ट रूप से नॉर्मलाइज़्ड (pi/2) कन्वेंशन का उपयोग करता है, जो सबसे प्रचलित रूप है:

$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$

एक अननॉर्मलाइज़्ड विकल्प भी है, जिसमें इंटीग्रैंड के आर्गुमेंट $(\pi/2)t^{2}$ के बजाय केवल $t^{2}$ लिया जाता है। दोनों फलन विषम (odd) होते हैं: $S(-x) = -S(x)$ और $C(-x) = -C(x)$। जब $x$ का मान $+\infty$ की ओर बढ़ता है, तो $S$ और $C$ दोनों $1/2$ के निकट पहुँच जाते हैं।

C(x) बनाम S(x) आलेखित करने से बना कॉर्नू सर्पिल — क्षैतिज अक्ष पर $C(x)$ और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $S(x)$ आलेखित करने से कॉर्नू सर्पिल बनता है।

इसका उपयोग कैसे करें

$x$ का मान दर्ज करें, कन्वेंशन चुनें, और कई सार्थक अंकों तक $S(x)$ तथा $C(x)$ का मान देखें। $x = 0$ पर दोनों इंटीग्रल बिल्कुल $0$ होते हैं। ऋणात्मक आर्गुमेंट के लिए विषम-गुण (oddness) अपने-आप लागू हो जाता है।

गणना कैसे होती है

इसका कोई प्रारंभिक (elementary) बंद-रूप सूत्र मौजूद नहीं है, इसलिए कैलकुलेटर $[0, |x|]$ अंतराल पर सूक्ष्म ग्रिड के साथ संयुक्त सिम्पसन नियम (composite Simpson's rule) का उपयोग करता है (कम-से-कम 1000 उप-अंतराल, जो $|x|$ के साथ बढ़ते हैं ताकि तेज़ी से बढ़ते दोलन को सही पकड़ा जा सके)। $x$ का चिह्न बाद में लगाया जाता है, क्योंकि इंटीग्रैंड विषम होते हैं। मध्यम $|x|$ के लिए यह प्रकाशित संदर्भ मानों से लगभग छह दशमलव स्थानों तक मेल खाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

नॉर्मलाइज़्ड कन्वेंशन में $x = 1$ के लिए: $C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$ लगभग $0.7798934$ है, और $S(1)$ लगभग $0.4382591$ है। $x = 2$ पर $C(2)$ लगभग $0.488253$ और $S(2)$ लगभग $0.343416$ है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मुझे कौन-सा कन्वेंशन इस्तेमाल करना चाहिए? अधिकांश भौतिकी और इंजीनियरिंग की पुस्तकें (तथा विवर्तन तालिकाएँ) नॉर्मलाइज़्ड pi/2 रूप का उपयोग करती हैं, जो यहाँ डिफ़ॉल्ट है।

कॉर्नू स्पाइरल क्या है? यह पैरामीट्रिक वक्र $(C(x), S(x))$ है; जैसे-जैसे $x$ बड़ा होता है, यह $(1/2, 1/2)$ और $(-1/2, -1/2)$ बिंदुओं की ओर सर्पिल रूप में सिकुड़ता जाता है।

परिणाम कितना सटीक है? चुनी गई ग्रिड के साथ सिम्पसन नियम सामान्यतः $|x|$ के लगभग 6 तक के मानों के लिए संदर्भ तालिकाओं से करीब छह दशमलव अंकों तक मेल खाता है।

फ्रेनेल इंटीग्रल S(x) और C(x) कैलकुलेटर

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सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम