यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह उपकरण दो पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलों (complete elliptic integrals) की एक तालिका तैयार करता है: \(K(k)\), जो प्रथम प्रकार का है, और \(E(k)\), जो द्वितीय प्रकार का है। इन्हें मापांक \(k\) के एक क्रम पर परिकलित किया जाता है। आप एक प्रारंभिक मान, एक चरण आकार (step), और कितनी पंक्तियाँ चाहिए — यह तीन चीज़ें देते हैं; कैलकुलेटर प्रारंभिक मान से \(k\) को आगे बढ़ाता है, हर पंक्ति में चरण जोड़ता जाता है, और हर पंक्ति के लिए \(K(k)\) तथा \(E(k)\) दर्शाता है। यह शुद्ध गणित (विशेष फलन) है और हर जगह बिल्कुल एक समान लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
k का प्रारंभिक मान (मापांक, एक शुद्ध अनुपात जहाँ \(-1 \le k \le 1\)) दर्ज करें, फिर वृद्धि (increment) जो हर पंक्ति में \(k\) में जोड़ी जाती है (यह ऋणात्मक भी हो सकती है), और पुनरावृत्तियों की संख्या (पंक्तियाँ, एक पूर्णांक \(\ge 1\))। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक 0, चरण 0.02, और 51 पंक्तियाँ — यह \(k\) को 0.00 से 1.00 तक ले जाती हैं। समाकल केवल \(k\) के वर्ग पर निर्भर करते हैं, इसलिए ऋणात्मक \(k\) भी धनात्मक \(k\) के समान ही मान देता है।
सूत्र की व्याख्या
यहाँ का तर्क (argument) मापांक \(k\) है, न कि प्राचल \(m = k^2\)। समाकल रूप में, \(K(k)\) का मान 0 से \(\pi/2\) तक \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\) का समाकलन है, और \(E(k)\) उसी परास में \(\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta\) का समाकलन है।
$$ K(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}\; d\theta $$हम इन्हें तेज़ और उच्च-परिशुद्धता वाली समांतर-गुणोत्तर माध्य (Arithmetic-Geometric Mean, AGM) विधि से परिकलित करते हैं: \(K(k) = \pi / (2 \cdot \mathrm{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2}))\)। E के लिए हम AGM के c-पदों को संचित करते हैं: \(E(k) = K(k) \cdot (1 - \sum 2^{n-1} c_n^2)\), जहाँ \(c_0^2 = k^2\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(k = 0.5\) के लिए: \(1 - k^2 = 0.75\), \(\sqrt{} = 0.8660254\)। \(\mathrm{AGM}(1, 0.8660254) \approx 0.9318082\), अतः
$$ K(0.5) = \frac{\pi}{2 \cdot 0.9318082} = 1.6857503548 $$c-पदों का योग \(\approx 0.1339804\) होता है, जिससे
$$ E(0.5) = 1.6857503548 \cdot (1 - 0.1339804) = 1.4603362889 $$आता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(k = 1\) पर क्या होता है? \(K(1)\) अनंत की ओर अपसरित हो जाता है; \(E(1)\) बिल्कुल 1 होता है। तालिका सीमा वाली पंक्ति पर K के लिए "Infinity" और E के लिए 1 दर्शाती है, क्रैश होने के बजाय।
क्या कैलकुलेटर \(k\) का उपयोग करता है या \(m\) का? यह मापांक \(k\) का उपयोग करता है। यदि आपके पास प्राचल \(m\) है, तो दर्ज करने से पहले उसका वर्गमूल लें (\(k = \sqrt{m}\))।
\(|k| > 1\) होने पर क्या? यह वास्तविक परास \(-1 \le k \le 1\) के बाहर है; ऐसी पंक्तियों को परास के बाहर (out of domain) के रूप में चिह्नित किया जाता है।
