यह कैलकुलेटर क्या करता है
सरल पेंडुलम का जाना-पहचाना आवर्तकाल सूत्र, \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\), केवल बहुत छोटे झूलों के लिए मान्य एक सन्निकटन है। बड़े आरंभिक (रिलीज़) कोणों पर असली पेंडुलम और भी धीरे झूलता है। यह टूल पहले प्रकार के पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल (complete elliptic integral) का उपयोग करके सटीक आवर्तकाल निकालता है और उसे विभिन्न आयाम कोणों पर लघु-कोण मान तथा दोनों के अनुपात के साथ एक सारणी में दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
धागे की लंबाई l मीटर में और गुरुत्वीय त्वरण g को m/s² में दर्ज करें (डिफ़ॉल्ट 9.80665 मानक गुरुत्व है)। आयाम का चरण (step) 5° या 10° चुनें। परिणाम में सबसे ऊपर स्थिर लघु-कोण आवर्तकाल \(T_0\) मुख्य मान के रूप में दिखता है, फिर चरण से लेकर 180° से ठीक नीचे तक के हर आयाम \(\alpha\) के लिए एक पंक्ति होती है, जिसमें सटीक आवर्तकाल \(T\) और अनुपात \(T/T_0\) दिया रहता है।
सूत्र की व्याख्या
सटीक आवर्तकाल $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ है, जहाँ \(k = \sin(\alpha/2)\) दीर्घवृत्तीय मापांक (elliptic modulus) है और $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$ हम \(K\) की गणना तेज़ और सटीक समांतर–गुणोत्तर माध्य (AGM) विधि से करते हैं: \(a_0=1\), \(b_0=\cos(\alpha/2)\) से शुरू करें, फिर \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) और \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) तब तक दोहराएँ जब तक दोनों अभिसरित (converge) न हो जाएँ, तब \(K = \pi/(2a_\infty)\)। अनुपात सरल होकर \(\frac{2}{\pi}K(\sin(\alpha/2))\) बन जाता है, जो शून्य आयाम पर 1 होता है और \(\alpha\) के 180° की ओर बढ़ने पर अनंत की ओर जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(l = 1\ \text{m}\) और \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\) के लिए: \(\sqrt{l/g} = 0.319330\ \text{s}\), इसलिए $$T_0 = 2.006419\ \text{s}.$$ \(\alpha = 30°\) पर, \(k = \sin 15° = 0.258819\), \(K = 1.598142\), जिससे \(T = 2.041253\ \text{s}\) और अनुपात \(1.017362\) मिलता है — यानी लघु-कोण अनुमान से लगभग 1.74% अधिक, जो पाठ्यपुस्तक के \(1 + \alpha^2/16\) संशोधन से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आयाम बढ़ने पर आवर्तकाल क्यों बढ़ता है? प्रत्यानयन बल-आघूर्ण (restoring torque) \(\sin\theta\) के समानुपाती होता है, न कि \(\theta\) के; बड़े झूलों के लिए \(\sin\theta < \theta\) होता है, इसलिए प्रभावी प्रत्यानयन बल कमज़ोर हो जाता है और हर चक्र में अधिक समय लगता है।
यह 180° से पहले ही क्यों रुक जाता है? ठीक 180° पर पेंडुलम अस्थिर उल्टे बिंदु से शुरू होता है, \(k = 1\) हो जाता है, और \(K\) अनंत की ओर बढ़ जाता है, इसलिए आवर्तकाल असीमित हो जाता है। इसी कारण सारणी 180° से ठीक पहले रुक जाती है।
क्या AGM सटीक है? यह दस से भी कम पुनरावृत्तियों में मशीन परिशुद्धता तक द्विघातीय रूप से (quadratically) अभिसरित हो जाता है, इसलिए सारणी के मान दर्शाई गई परिशुद्धता तक सटीक होते हैं — घात श्रेणी (power series) को काट-छाँट कर निकाले गए मानों से कहीं बेहतर।
