Qué hace esta calculadora
La conocida fórmula del periodo de un péndulo simple, \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\), es solo una aproximación válida para oscilaciones muy pequeñas. Cuando el ángulo de soltado es mayor, el péndulo real oscila más despacio. Esta herramienta calcula el periodo exacto mediante la integral elíptica completa de primera especie y lo tabula junto al valor de ángulo pequeño y su cociente para todo un rango de ángulos de amplitud.
Cómo usarla
Introduce la longitud del hilo l en metros y la aceleración de la gravedad g en m/s² (el valor por defecto 9,80665 es la gravedad estándar). Elige un paso de amplitud de 5° o 10°. El resultado muestra como dato principal el periodo de ángulo pequeño \(T_0\), que es constante, y a continuación una fila para cada amplitud \(\alpha\) desde el paso elegido hasta justo por debajo de 180°, con el periodo exacto T y el cociente \(T/T_0\).
La fórmula explicada
El periodo exacto es $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k),$$ donde \(k = \sin(\alpha/2)\) es el módulo elíptico y $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$ Evaluamos K con la media aritmético–geométrica (AGM), un método rápido y exacto: partimos de \(a_0=1\), \(b_0=\cos(\alpha/2)\), iteramos \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) y \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) hasta que convergen, y entonces \(K = \pi/(2a_\infty)\). El cociente se reduce a \((2/\pi)K(\sin(\alpha/2))\), que vale 1 cuando la amplitud es cero y diverge a medida que \(\alpha\) se acerca a 180°.
Ejemplo resuelto
Para \(l = 1\) m y \(g = 9{,}80665\) m/s²: \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\) s, así que \(T_0 = 2{,}006419\) s. Con \(\alpha = 30^\circ\), \(k = \sin 15^\circ = 0{,}258819\), \(K = 1{,}598142\), lo que da \(T = 2{,}041253\) s y un cociente de \(1{,}017362\), es decir, un 1,74% más largo que la estimación de ángulo pequeño, en línea con la corrección de manual \(1 + \alpha^2/16\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué aumenta el periodo con la amplitud? El par recuperador es proporcional a \(\sin\theta\), no a \(\theta\); en oscilaciones grandes \(\sin\theta < \theta\), por lo que la fuerza recuperadora efectiva es más débil y cada ciclo dura más.
¿Por qué se detiene antes de 180°? Justo en 180° el péndulo arranca desde el punto invertido inestable, \(k = 1\), y K diverge a infinito, de modo que el periodo no está acotado. Por eso la tabla se corta justo por debajo de 180°.
¿Es exacta la AGM? Converge de forma cuadrática hasta la precisión de la máquina en menos de diez iteraciones, así que los valores tabulados son exactos con la precisión mostrada, mucho mejor que truncar la serie de potencias.
