这个计算器能做什么
我们熟悉的单摆周期公式 \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\)，其实只是摆幅极小时才成立的近似。当释放角度变大，真实单摆摆动会变慢。本工具用第一类完全椭圆积分计算精确周期，并把它与小角度近似值以及两者的比值，按一系列摆幅角逐行列成对照表。
使用方法
输入摆线长度 \(l\)（单位：米）和重力加速度 \(g\)（单位：m/s²，默认 9.80665 为标准重力）。选择 5° 或 10° 的摆幅步长。结果会先以醒目方式显示恒定的小角度周期 \(T_0\)，随后从步长起，每隔一个角度列出一行，一直到接近但不到 180° 的摆幅 \(\alpha\)，并给出对应的精确周期 \(T\) 和比值 \(T/T_0\)。
公式详解
精确周期为 $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k),$$ 其中 \(k = \sin(\alpha/2)\) 是椭圆模数，$$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.$$ 我们用快速且精确的算术–几何平均（AGM）算法求 \(K\)：取初值 \(a_0=1\)、\(b_0=\cos(\alpha/2)\)，反复迭代 \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) 与 \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\)，直到收敛，则 \(K = \pi/(2a_\infty)\)。比值可化简为 \((2/\pi)K(\sin(\alpha/2))\)，在摆幅为零时等于 1，并随 \(\alpha\) 趋近 180° 而发散。
计算实例
取 \(l = 1\ \text{m}\)、\(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\)：\(\sqrt{l/g} = 0.319330\ \text{s}\)，所以 \(T_0 = 2.006419\ \text{s}\)。当 \(\alpha = 30°\) 时，\(k = \sin 15° = 0.258819\)，\(K = 1.598142\)，得 \(T = 2.041253\ \text{s}\)，比值 \(1.017362\)——比小角度估计值约长 1.74%，正好与教科书中的 \(1 + \alpha^2/16\) 修正项吻合。
常见问题
为什么摆幅越大周期越长？回复力矩正比于 \(\sin\theta\) 而非 \(\theta\)；摆幅较大时 \(\sin\theta < \theta\)，于是有效回复力偏弱，每个周期也就走得更慢。
为什么表格在 180° 之前就截止了？当摆幅恰为 180° 时，单摆从倒立的不稳定点出发，此时 \(k = 1\)，\(K\) 发散到无穷大，周期没有上界。所以表格只列到接近 180° 处。
AGM 算法精确吗？它以二次收敛的速度在不到十次迭代内达到机器精度，因此表中数值在所显示的精度下都是精确的——远胜于直接截断幂级数的做法。
