什么是复数的共轭？
对于以直角坐标形式表示的复数 \(z = a + bi\)，只需将其虚部的符号取反，就能得到它的共轭复数：\(\overline{z} = a - bi\)。实部保持不变，虚部则变号。从几何角度来看，共轭复数就是该点关于复平面实轴（水平轴）的镜像反射。
如何使用本计算器
输入复数的实部 a 和虚部 b，即可读出对应的共轭复数。这两个数值可以是正数、负数或零，并且支持小数输入。计算器还会同时给出模长 \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)，而取共轭并不会改变模长的大小。
公式详解
若 \(z = a + bi\)，则其共轭复数为 $$\overline{z} = a - bi$$ 一个重要的恒等式是 \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\)，结果是一个非负实数——正因如此，共轭复数常用于分母有理化以及计算模长。此外，共轭运算对加法和乘法都满足分配律：\(\operatorname{conj}(z + w) = \operatorname{conj}(z) + \operatorname{conj}(w)\)。
实例演示
取 \(z = 3 + 4i\)。将虚部取反即可得到共轭复数 \(\overline{z} = 3 - 4i\)。模长为 $$|z| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 可以注意到，\(z\) 与 \(\overline{z}\) 的模长完全相同。
常见问题
实数的共轭复数是什么？当 \(b = 0\) 时，由于没有虚部可以取反，这个数等于它自身的共轭复数。
纯虚数的共轭复数是什么？对于 \(z = bi\)，其共轭复数为 \(-bi\)，即关于实轴的镜像反射。
取共轭会改变模长吗？不会。因为平方会消去 \(b\) 的符号，所以始终有 \(|z| = |\overline{z}|\)。
