Что такое комплексно-сопряжённое число?
Комплексно-сопряжённое число для числа в алгебраической форме \(z = a + bi\) получается изменением знака мнимой части: \(\overline{z} = a - bi\). Действительная часть остаётся прежней, а мнимая меняет знак на противоположный. С геометрической точки зрения сопряжённое число — это отражение точки относительно действительной (горизонтальной) оси комплексной плоскости.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть a и мнимую часть b вашего комплексного числа — и сразу увидите сопряжённое к нему. Оба значения могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, дробные числа тоже поддерживаются. Калькулятор также показывает модуль \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), который при сопряжении не меняется.
Разбор формулы
Если \(z = a + bi\), то сопряжённое число равно $$\overline{z} = a - bi$$ Ключевое тождество: \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\) — это всегда действительное неотрицательное число. Именно поэтому сопряжённые числа применяют для избавления от иррациональности (комплексности) в знаменателе и для вычисления модуля. Кроме того, операция сопряжения распределяется по сложению и умножению: \(\operatorname{conj}(z + w) = \operatorname{conj}(z) + \operatorname{conj}(w)\).
Разбор примера
Возьмём \(z = 3 + 4i\). При сопряжении меняется знак мнимой части, и мы получаем \(\overline{z} = 3 - 4i\). Модуль равен $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Обратите внимание: модули чисел \(z\) и \(\overline{z}\) совпадают.
Частые вопросы
Чему равно сопряжённое действительного числа? Если \(b = 0\), число совпадает со своим сопряжённым, ведь менять знак у мнимой части не нужно — её попросту нет.
Чему равно сопряжённое чисто мнимого числа? Для \(z = bi\) сопряжённое равно \(-bi\) — это отражение относительно действительной оси.
Меняет ли сопряжение модуль числа? Нет. Всегда выполняется \(|z| = |\overline{z}|\), потому что при возведении в квадрат знак \(b\) исчезает.
