複數共軛計算機

輸入計算

實部 (a)

虛部 (b)

結果

共軛複數

3 - 4i

conjugate of 3 + 4i

實部	3
虛部	-4
模 |z|	5

什麼是共軛複數？

以直角座標形式表示的複數 z = a + bi，只要把虛部的正負號顛倒，就能得到它的共軛複數：\(\overline{z} = a - bi\)。實部維持不變，虛部則取負號。從幾何角度來看，共軛複數就是該點對複數平面上實軸（水平軸）所做的鏡射。

z = a + bi 的共軛是它關於實軸的鏡像。

如何使用本計算機

輸入複數的實部 a 與虛部 b，即可讀出對應的共軛複數。兩個數值都可以是正數、負數或零，也支援小數。計算機同時會顯示模 \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)，這個值在取共軛後維持不變。

公式解析

若 z = a + bi，則其共軛複數為 $$\overline{z} = a - bi$$ 一個重要的恆等式是 \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\)，結果為一個非負的實數——這正是共軛複數能用來把分母有理化、以及計算模的原因。共軛運算對加法與乘法也具有分配性：conj(z + w) = conj(z) + conj(w)。

模 |z| 是到原點的距離，等於 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)。

範例演算

以 z = 3 + 4i 為例。取共軛時將虛部取負號，得到 \(\overline{z} = 3 - 4i\)。模為 $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 可以注意到 z 與 z̄ 的模完全相同。

常見問題

實數的共軛複數是什麼？當 b = 0 時，該數等於它本身的共軛複數，因為沒有虛部可以變號。

純虛數的共軛複數是什麼？對於 z = bi，其共軛複數為 −bi，也就是對實軸所做的鏡射。

取共軛會改變大小（模）嗎？不會。\(|z| = |\overline{z}|\) 永遠成立，因為平方運算會消去 b 的正負號。