Что считает этот калькулятор
Привычная формула периода математического маятника \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\) — всего лишь приближение, справедливое для очень малых колебаний. При конечных углах отклонения настоящий маятник раскачивается медленнее. Этот инструмент вычисляет точный период через полный эллиптический интеграл первого рода и сводит его в таблицу рядом со значением для малых углов и их отношением для целого диапазона амплитуд.
Как пользоваться
Введите длину нити l в метрах и ускорение свободного падения g в м/с² (значение по умолчанию 9,80665 — стандартное ускорение). Выберите шаг амплитуды: 5° или 10°. В результатах сначала выводится постоянный период для малых углов \(T_0\) как главное значение, а затем — строка для каждой амплитуды α от выбранного шага и почти до 180°, с точным периодом T и отношением \(T/T_0\).
Разбор формулы
Точный период равен $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k),$$ где \(k = \sin(\alpha/2)\) — эллиптический модуль, а $$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.$$ Интеграл K мы вычисляем быстрым и точным методом арифметико-геометрического среднего (AGM): задаём \(a_0=1\), \(b_0=\cos(\alpha/2)\) и повторяем итерации \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) и \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\), пока значения не сойдутся, после чего \(K = \pi/(2a_\infty)\). Отношение упрощается до \((2/\pi)K(\sin(\alpha/2))\): при нулевой амплитуде оно равно 1 и неограниченно растёт при приближении α к 180°.
Пример расчёта
Пусть \(l = 1\) м и \(g = 9{,}80665\) м/с²: \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\) с, значит \(T_0 = 2{,}006419\) с. При \(\alpha = 30^\circ\) получаем \(k = \sin 15^\circ = 0{,}258819\), \(K = 1{,}598142\), откуда \(T = 2{,}041253\) с и отношение \(1{,}017362\) — период примерно на 1,74% длиннее оценки для малых углов, что совпадает с классической поправкой из учебника \(1 + \alpha^2/16\).
Частые вопросы
Почему период растёт с амплитудой? Возвращающий момент пропорционален \(\sin\theta\), а не самому \(\theta\); при больших отклонениях \(\sin\theta < \theta\), поэтому эффективная возвращающая сила слабее и каждый цикл длится дольше.
Почему таблица не доходит до 180°? Ровно при 180° маятник стартует из неустойчивого верхнего положения, \(k = 1\), и интеграл K расходится до бесконечности — период становится неограниченным. Поэтому таблица обрывается чуть ниже 180°.
Точен ли метод AGM? Он сходится квадратично до машинной точности менее чем за десять итераций, поэтому значения в таблице точны в пределах отображаемой разрядности — гораздо лучше, чем при усечении степенного ряда.
