यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी आदर्श सरल पेंडुलम (भारहीन, अप्रत्यास्थ डोरी पर लटका एक बिंदु-द्रव्यमान) का सटीक दोलन आवर्तकाल निकालता है — वह भी किसी भी छोड़ने वाले आयाम के लिए, 180 डिग्री तक। किताबों वाला जाना-पहचाना सूत्र \( T = 2\pi\sqrt{l/g} \) दरअसल सिर्फ़ लघु-कोण का अनुमान है; जैसे-जैसे झूले का कोण बड़ा होता है, यह सूत्र साफ़ तौर पर ग़लत होने लगता है। यहाँ हम पूर्ण अरैखिक परिणाम का इस्तेमाल करते हैं, जो पहली श्रेणी के पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल पर आधारित है, इसलिए बड़े झूलों पर भी जवाब सटीक रहता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
तीन मान दर्ज करें: डिग्री में छोड़ने का कोण α (ऊर्ध्वाधर से वह अधिकतम कोण जहाँ से गोली को विरामावस्था में छोड़ा जाता है), मीटर में डोरी की लंबाई l, और m/s² में गुरुत्वीय त्वरण g (डिफ़ॉल्ट 9.80665, मानक गुरुत्व)। गणना दबाएँ और एक पूरे आगे-पीछे चक्र का आवर्तकाल T सेकंड में पाएँ। परिणाम तालिका में तुलना के लिए दीर्घवृत्तीय समाकल का मान K(k), मापांक k, और लघु-कोण आवर्तकाल भी दिखाए जाते हैं।
सूत्र की व्याख्या
सटीक आवर्तकाल है
$$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$जहाँ \( K \) पहली श्रेणी का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल है और इसका मापांक \( k = \sin(\alpha/2) \) होता है। हम \( K(k) \) को बिना किसी तालिका के, समांतर-गुणोत्तर माध्य (AGM) से निकालते हैं:
$$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot\operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$$AGM का अभिसरण द्विघातीय होता है, इसलिए सिर्फ़ 5-8 पुनरावृत्तियों में ही मशीन-स्तर की परिशुद्धता मिल जाती है। जब \( \alpha \rightarrow 0 \) होता है, तो \( K \rightarrow \pi/2 \) हो जाता है और T घटकर वही शास्त्रीय \( 2\pi\sqrt{l/g} \) रह जाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \( \alpha = 30^\circ \), \( l = 1 \text{ m} \), \( g = 9.80665 \): तब \( k = \sin(15^\circ) = 0.258819 \), \( \operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0.982889 \), यानी \( K = 1.598142 \) और \( \sqrt{l/g} = 0.319330 \)। इस तरह
$$T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415 \text{ s}$$— जो लघु-कोण मान 2.0062 s से क़रीब 1.76% ज़्यादा है। \( \alpha = 90^\circ \) पर आवर्तकाल बढ़कर लगभग 2.3685 s हो जाता है, जो लघु-कोण अनुमान से तक़रीबन 18% ऊपर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
आवर्तकाल आयाम पर निर्भर क्यों करता है? पेंडुलम का प्रत्यानयन बल-आघूर्ण \( \sin\theta \) के समानुपाती होता है, न कि \( \theta \) के। सिर्फ़ छोटे कोणों पर ही \( \sin\theta \approx \theta \) होता है, जिससे सरल आवर्त गति मिलती है और आवर्तकाल आयाम से स्वतंत्र रहता है। बड़े झूलों में गति अनावर्ती (anharmonic) और धीमी हो जाती है।
180 डिग्री के पास क्या होता है? जैसे-जैसे \( \alpha \) 180° के पास पहुँचता है, मापांक \( k \) एक की ओर बढ़ता है और \( K(k) \) अपसरित हो जाता है, इसलिए आवर्तकाल अनंत की ओर चला जाता है — गोली अस्थिर उलटे शीर्ष के पास और भी ज़्यादा देर तक टिकी रहती है। 180° या उससे ऊपर के मान सीमा-बाहर माने जाते हैं।
क्या इसमें घर्षण शामिल है? नहीं। यह एक आदर्श घर्षण-रहित पेंडुलम है; हवा का प्रतिरोध, डोरी का द्रव्यमान और गोली का आकार अनदेखा किया गया है। असली पेंडुलम हर चक्र में थोड़ी ऊर्जा और आयाम खोते रहते हैं।
