Ce que fait ce calculateur
Cet outil construit une table des deux intégrales elliptiques complètes : \(K(k)\), de première espèce, et \(E(k)\), de seconde espèce, évaluées sur une suite de valeurs du module \(k\). Vous indiquez une valeur de départ, un pas et le nombre de lignes souhaité ; le calculateur fait progresser \(k\) à partir de la valeur initiale, en ajoutant le pas à chaque ligne, puis affiche \(K(k)\) et \(E(k)\) pour chacune d'elles. Il s'agit de mathématiques pures (fonctions spéciales) : les résultats sont valables à l'identique partout dans le monde.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur initiale de k (le module, un simple rapport tel que \(-1 \le k \le 1\)), l'incrément ajouté à \(k\) à chaque ligne (il peut être négatif) et le nombre de répétitions (lignes, un entier \(\ge 1\)). Par exemple, valeur initiale 0, pas 0,02 et 51 lignes font balayer \(k\) de 0,00 à 1,00. Les intégrales ne dépendant que du carré de \(k\), une valeur négative de \(k\) donne exactement les mêmes résultats qu'une valeur positive.
La formule expliquée
L'argument utilisé ici est le module \(k\), et non le paramètre \(m = k^2\). Sous forme intégrale, $$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta$$ sur le même intervalle. Nous les évaluons à l'aide de la moyenne arithmético-géométrique (AGM), rapide et de haute précision : $$K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \text{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2})}.$$ Pour \(E\), on accumule les termes \(c\) de l'AGM : $$E(k) = K(k) \cdot \left(1 - \sum 2^{n-1} c_n^2\right) \quad \text{avec} \quad c_0^2 = k^2.$$
Exemple résolu
Pour \(k = 0{,}5\) : \(1 - k^2 = 0{,}75\), \(\sqrt{} = 0{,}8660254\). \(\text{AGM}(1,\ 0{,}8660254) \approx 0{,}9318082\), d'où $$K(0{,}5) = \frac{\pi}{2 \cdot 0{,}9318082} = 1{,}6857503548.$$ La somme des termes \(c\) vaut \(\approx 0{,}1339804\), ce qui donne $$E(0{,}5) = 1{,}6857503548 \cdot (1 - 0{,}1339804) = 1{,}4603362889.$$
FAQ
Que se passe-t-il en \(k = 1\) ? \(K(1)\) diverge vers l'infini ; \(E(1) = 1\) exactement. À cette limite, la table affiche « Infini » pour \(K\) et 1 pour \(E\), plutôt que de planter.
Le calculateur utilise-t-il \(k\) ou \(m\) ? Il utilise le module \(k\). Si vous disposez du paramètre \(m\), prenez-en la racine carrée (\(k = \sqrt{m}\)) avant de le saisir.
Et pour \(|k| > 1\) ? Cela sort du domaine réel \(-1 \le k \le 1\) ; ces lignes sont signalées comme hors domaine.
