घातांकीय समाकल Eₙ(x) क्या है?
सामान्यीकृत घातांकीय समाकल \(E_{n}(x)\) एक मानक विशेष फलन है, जिसे t के 1 से अनंत तक \(e^{-x\cdot t}/t^{n}\) के समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी (विशेष रूप से विकिरण स्थानांतरण और न्यूट्रॉन परिवहन) तथा इंजीनियरिंग में बार-बार सामने आता है। यहाँ पैरामीटर \(n\) पूर्णांक क्रम है और \(x\) वास्तविक तर्क है। \(n = 1\) होने पर यह \(E_{1}(x) = -\mathrm{Ei}(-x)\) के ज़रिए सुप्रसिद्ध घातांकीय समाकल में सिमट जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
क्रम n को एक अऋणात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, 3, …) के रूप में और तर्क x को एक वास्तविक संख्या के रूप में दर्ज करें। "calculate" दबाते ही आपको \(E_{n}(x)\) का मान डबल परिशुद्धता (लगभग 15 सार्थक अंक) में मिल जाएगा। यह फलन तभी वास्तविक मान देता है जब \(x\) कम-से-कम 0 हो। \(n = 0\) या \(n = 1\) के लिए तर्क का सख्ती से धनात्मक होना ज़रूरी है, क्योंकि जैसे-जैसे \(x\) शून्य की ओर बढ़ता है, दोनों अपसारित हो जाते हैं; जबकि \(n \geq 2\) पर \(x = 0\) का मान परिमित होता है और \(1/(n-1)\) के बराबर रहता है।
सूत्र और एल्गोरिथम
परिभाषित करने वाला समाकल है $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{\,n}}\,dt$$ यह क्रियान्वयन संख्यात्मक रूप से स्थिर "expint" रूटीन का अनुसरण करता है: \(x > 1\) के लिए यह लेंट्ज़ सतत भिन्न (continued fraction) का उपयोग करता है, और \(0 < x \leq 1\) के लिए यह यूलर–माश्चेरोनी स्थिरांक \(\gamma \approx 0.5772156649\) से युक्त अभिसारी घात श्रेणी का प्रयोग करता है। विशेष स्थितियों को सीधे ही संभाला जाता है: \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\) और \(n \geq 2\) के लिए \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\)।
हल किया गया उदाहरण
डिफ़ॉल्ट मान \(n = 2\) और \(x = 1\) लीजिए। चूँकि \(x \leq 1\) है, इसलिए \(nm1 = 1\) के साथ घात श्रेणी का उपयोग होता है। श्रेणी 1 से शुरू होती है और क्रमिक पद \((-0.4227843, -0.5, +0.0833333, -0.0138889, \ldots)\) जुड़कर \(E_{2}(1) \approx 0.1484955\) तक पहुँचते हैं। जाँच के तौर पर देखें: \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\), और \(E_{1}(1) \approx 0.2193839\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ऋणात्मक x के लिए त्रुटि क्यों आती है? \(x < 0\) के लिए यह फलन वास्तविक मान नहीं देता, इसलिए कैलकुलेटर इसे अपरिभाषित बताकर चिह्नित कर देता है।
x = 0 पर क्या होता है? \(n \geq 2\) के लिए परिणाम \(1/(n-1)\) होता है; \(n = 0\) या \(n = 1\) के लिए फलन अपसारित हो जाता है, इसलिए \(x\) का धनात्मक होना ज़रूरी है।
परिणाम कितना सटीक है? डबल-परिशुद्धता अंकगणित से लगभग 15 सार्थक अंक तक की सटीकता मिलती है, जो सामान्य वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग कार्यों के लिए पर्याप्त से अधिक है।
