परिणाम

घातांकीय समाकल E_n(x)

0.1484955068

विमाहीन

परिभाषा	E_n(x) = 1 से अनंत तक e^(−x t) / t^n dt का समाकल

घातांकीय समाकल Eₙ(x) क्या है?

सामान्यीकृत घातांकीय समाकल $E_{n}(x)$ एक मानक विशेष फलन है, जिसे t के 1 से अनंत तक $e^{-x\cdot t}/t^{n}$ के समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी (विशेष रूप से विकिरण स्थानांतरण और न्यूट्रॉन परिवहन) तथा इंजीनियरिंग में बार-बार सामने आता है। यहाँ पैरामीटर $n$ पूर्णांक क्रम है और $x$ वास्तविक तर्क है। $n = 1$ होने पर यह $E_{1}(x) = -\mathrm{Ei}(-x)$ के ज़रिए सुप्रसिद्ध घातांकीय समाकल में सिमट जाता है।

En(x) को परिभाषित करने वाले समाकल को दर्शाते छायांकित क्षेत्र पर घटती हुई वक्र — Eₙ(x) वह क्षेत्रफल है जो t = 1 से अनंत तक e^(−x t)/t^n के नीचे होता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

क्रम n को एक अऋणात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, 3, …) के रूप में और तर्क x को एक वास्तविक संख्या के रूप में दर्ज करें। "calculate" दबाते ही आपको $E_{n}(x)$ का मान डबल परिशुद्धता (लगभग 15 सार्थक अंक) में मिल जाएगा। यह फलन तभी वास्तविक मान देता है जब $x$ कम-से-कम 0 हो। $n = 0$ या $n = 1$ के लिए तर्क का सख्ती से धनात्मक होना ज़रूरी है, क्योंकि जैसे-जैसे $x$ शून्य की ओर बढ़ता है, दोनों अपसारित हो जाते हैं; जबकि $n \geq 2$ पर $x = 0$ का मान परिमित होता है और $1/(n-1)$ के बराबर रहता है।

सूत्र और एल्गोरिथम

परिभाषित करने वाला समाकल है $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{\,n}}\,dt$$ यह क्रियान्वयन संख्यात्मक रूप से स्थिर "expint" रूटीन का अनुसरण करता है: $x > 1$ के लिए यह लेंट्ज़ सतत भिन्न (continued fraction) का उपयोग करता है, और $0 < x \leq 1$ के लिए यह यूलर–माश्चेरोनी स्थिरांक $\gamma \approx 0.5772156649$ से युक्त अभिसारी घात श्रेणी का प्रयोग करता है। विशेष स्थितियों को सीधे ही संभाला जाता है: $E_{0}(x) = e^{-x}/x$ और $n \geq 2$ के लिए $E_{n}(0) = 1/(n-1)$।

n के कई मानों के लिए En(x) दर्शाते वक्रों का समूह — उच्च क्रम n देने पर Eₙ(x) के मान छोटे और तेज़ी से घटने वाले होते हैं।

हल किया गया उदाहरण

डिफ़ॉल्ट मान $n = 2$ और $x = 1$ लीजिए। चूँकि $x \leq 1$ है, इसलिए $nm1 = 1$ के साथ घात श्रेणी का उपयोग होता है। श्रेणी 1 से शुरू होती है और क्रमिक पद $(-0.4227843, -0.5, +0.0833333, -0.0138889, \ldots)$ जुड़कर $E_{2}(1) \approx 0.1484955$ तक पहुँचते हैं। जाँच के तौर पर देखें: $E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1$, और $E_{1}(1) \approx 0.2193839$।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ऋणात्मक x के लिए त्रुटि क्यों आती है? $x < 0$ के लिए यह फलन वास्तविक मान नहीं देता, इसलिए कैलकुलेटर इसे अपरिभाषित बताकर चिह्नित कर देता है।

x = 0 पर क्या होता है? $n \geq 2$ के लिए परिणाम $1/(n-1)$ होता है; $n = 0$ या $n = 1$ के लिए फलन अपसारित हो जाता है, इसलिए $x$ का धनात्मक होना ज़रूरी है।

परिणाम कितना सटीक है? डबल-परिशुद्धता अंकगणित से लगभग 15 सार्थक अंक तक की सटीकता मिलती है, जो सामान्य वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग कार्यों के लिए पर्याप्त से अधिक है।

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