Калькулятор синусного интеграла Френеля S(x)

Введите расчет

x (верхний предел интегрирования)

Знаков после запятой 6 8 10 12 15

Результатов

Синусный интеграл Френеля S(x)

0,438259147390355

at x = 1 (pi/2 convention)

Парный C(x)	0,779893400376823
Определение	S(x) = интеграл от 0 до x от sin(π·t²/2) dt
Симметрия	S(−x) = −S(x) (нечётная функция)

Что такое синусный интеграл Френеля?

Синусный интеграл Френеля \(S(x)\) и парный ему косинусный интеграл \(C(x)\) — это специальные функции, которые постоянно встречаются в оптике (дифракция Френеля), теории антенн и геометрии спирали Корню (спирали Эйлера). Данный калькулятор использует π/2-нормировку: \(S(x)\) определяется как интеграл от 0 до x от \(\sin(\pi\cdot t^{2}/2)\,dt\), а \(C(x)\) — тот же интеграл, но с косинусом. В этой нормировке обе функции при росте x к плюс бесконечности стремятся к 1/2.

Интеграл синуса Френеля \(S(x)\) колеблется и сходится к \(\pm 1/2\) при \(x \to \pm\infty\).

Как пользоваться калькулятором

Введите любое действительное значение x (положительное или отрицательное) и укажите, сколько знаков после запятой выводить. Поскольку подынтегральные выражения чётны по t, функции \(S(x)\) и \(C(x)\) являются нечётными: \(S(-x) = -S(x)\) и \(C(-x) = -C(x)\). Калькулятор вычисляет модуль и автоматически расставляет знак. При \(x = 0\) оба интеграла в точности равны 0.

Разбор формулы

Элементарного выражения в замкнутом виде не существует, поэтому вычисления выполняются численно. Стандартное определение:

$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$

Для умеренных значений аргумента применяется быстро сходящийся степенной ряд:

$$S(x) = \sum (-1)^{n}\cdot\frac{(\pi/2)^{2n+1}\cdot x^{4n+3}}{(2n+1)!\cdot(4n+3)}$$

и аналогичный ряд для \(C(x)\). При больших \(|x|\) подынтегральная функция осциллирует очень быстро, поэтому мы переходим к составной формуле Симпсона, увеличивая число отрезков разбиения пропорционально \(x^{2}\), чтобы сохранить точность.

\(S(x)\) — это площадь со знаком под \(\sin(\pi t^{2}/2)\) от 0 до x.

Пример расчёта (x = 1)

Суммируя ряд:

$$0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \ldots$$

получаем \(S(1) \approx 0.4382591474\), что совпадает с табличным эталонным значением \(0.4382591473903\). Парное значение составляет \(C(1) \approx 0.7798934004\).

Частые вопросы

Какая нормировка используется? π/2-нормировка с множителем π/2 внутри синуса и косинуса, поэтому пределы равны 1/2, а не выражаются через \(\sqrt{\pi/8}\).

Что происходит при больших x? \(S(x)\) и \(C(x)\) осциллируют вокруг 1/2 с уменьшающейся амплитудой и стремятся к 1/2 при \(x \to +\infty\) (и к \(-1/2\) при \(x \to -\infty\)).

Вычисляется ли C(x)? Да, парный косинусный интеграл \(C(x)\) показывается как дополнительный результат рядом с основным значением \(S(x)\).