Что такое интегральный логарифм li(x)?
Интегральный логарифм, обозначаемый \(\operatorname{li}(x)\), — это специальная функция, определяемая как интеграл от \(1/\ln(t)\) в пределах от 0 до x. Она встречается повсюду в аналитической теории чисел и наиболее известна как главное приближение функции распределения простых чисел \(\pi(x)\) в законе распределения простых чисел: количество простых чисел, не превосходящих x, примерно равно \(\operatorname{li}(x)\). Поскольку подынтегральная функция имеет особенность (полюс) в точке \(t = 1\), при \(x > 1\) интеграл понимается в смысле главного значения по Коши — это и есть стандартное определение.
Как пользоваться калькулятором
Введите любое действительное число x при условии \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Калькулятор выдаёт \(\operatorname{li}(x)\) с полной двойной точностью (около 15 значащих цифр). Для значений x от 0 до 1 результат получается конечным и отрицательным; \(\operatorname{li}(0) = 0\), а \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) (отображается как «не определено»). При \(x \le 0\) действительная функция li не определена.
Разбор формулы
Калькулятор использует тождество \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\), где Ei — интегральная показательная функция. Полагая \(u = \ln(x)\) и используя постоянную Эйлера — Маскерони \(\gamma = 0{,}5772156649\), мы вычисляем сходящийся ряд $$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$ Этот ряд сходится при любом действительном u, отличном от нуля, и суммируется до тех пор, пока очередной член не станет меньше примерно \(1\mathrm{e}{-18}\) от накопленной суммы.
Пример вычисления
Для \(x = 2\): \(u = \ln(2) = 0{,}6931472\), \(\ln|u| = -0{,}3665129\), а сумма ряда составляет около \(0{,}8344608\). Прибавив \(\gamma\), получаем $$\operatorname{li}(2) = 0{,}5772157 - 0{,}3665129 + 0{,}8344608 = 1{,}04516378,$$ что совпадает с известным эталонным значением \(1{,}0451637801\).
Частые вопросы
Почему li(1) равно бесконечности? Подынтегральная функция \(1/\ln(t)\) неограниченно растёт при приближении t к 1 сверху, поэтому \(\operatorname{li}(x)\) стремится к минус бесконечности в точке \(x = 1\).
Где li(x) обращается в ноль? В постоянной Рамануджана — Сольднера, при \(x \approx 1{,}4513692349\).
Совпадает ли li(x) с Li(x)? Смещённый вариант \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) иногда используют, чтобы \(\operatorname{Li}(2) = 0\); этот калькулятор возвращает несмещённую функцию \(\operatorname{li}(x)\).
