حاسبة التكامل اللوغاريتمي li(x)

نتائج

التكامل اللوغاريتمي li(x)

١٫٠٤٥١٦٣٧٨٠١

li(٢)

أدخل قيمة x	٢
الطريقة	li(x) = Ei(ln x) عبر متسلسلة متقاربة

ما هو التكامل اللوغاريتمي li(x)؟

التكامل اللوغاريتمي، ويُرمز إليه بـ $\operatorname{li}(x)$، هو دالة خاصة تُعرَّف بأنها تكامل المقدار $1/\ln(t)$ من 0 إلى x. تظهر هذه الدالة في كل أرجاء نظرية الأعداد التحليلية، وأشهر مواضعها أنها التقريب الأساسي لدالة عدّ الأعداد الأولية $\pi(x)$ في مبرهنة الأعداد الأولية؛ إذ إنّ عدد الأعداد الأولية الأصغر من x يساوي تقريبًا $\operatorname{li}(x)$. ولأنّ المقدار داخل التكامل يملك قطبًا عند $t = 1$، فإنّ التكامل عندما يكون $x > 1$ يُفسَّر على أنه القيمة الأساسية لكوشي (Cauchy principal value)، وهو التعريف المعتمد.

رسم بياني لـ 1 على ln t مع مساحة مظللة تمثل التكامل اللوغاريتمي حتى x — ‏li(x) هي المساحة المظللة تحت المنحنى $1/\ln(t)$، مع نقطة شاذة عند $t = 1$.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل أي قيمة حقيقية x بحيث يكون $x > 0$ و $x \ne 1$. تُرجع الحاسبة قيمة $\operatorname{li}(x)$ بدقة مضاعفة كاملة (نحو 15 رقمًا معنويًا). تعطي القيم المحصورة بين 0 و1 نتيجة سالبة منتهية؛ حيث $\operatorname{li}(0) = 0$ و $\operatorname{li}(1) = -\infty$ (تُعرَض على أنها غير معرّفة). أما عند $x \le 0$ فإنّ الدالة li الحقيقية تكون غير معرّفة.

شرح الصيغة الرياضية

تعتمد هذه الأداة على المتطابقة $\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)$، حيث Ei هي التكامل الأسّي. وبوضع $u = \ln(x)$ واستخدام ثابت أويلر–ماسكيروني $\gamma = 0.5772156649$، نحسب المتسلسلة المتقاربة $$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$ تتقارب هذه المتسلسلة لكل قيمة حقيقية u لا تساوي الصفر، ونجمع حدودها إلى أن يصبح كل حد أصغر من نحو $1\mathrm{e}{-18}$ من المجموع الجاري.

اعلان

مقارنة بين منحنيي دالة عدّ الأعداد الأولية والتكامل اللوغاريتمي — ‏li(x) تقارب بدقة دالة عدّ الأعداد الأولية $\pi(x)$.

مثال محلول

عند $x = 2$: تكون $u = \ln(2) = 0.6931472$، و $\ln|u| = -0.3665129$، ويبلغ مجموع المتسلسلة نحو 0.8344608. وبإضافة $\gamma$ نحصل على $$\operatorname{li}(2) = 0.5772157 - 0.3665129 + 0.8344608 = 1.04516378$$ وهي قيمة مطابقة للقيمة المرجعية المعروفة 1.0451637801.

الأسئلة الشائعة

لماذا تكون li(1) لا نهائية؟ يتباعد المقدار $1/\ln(t)$ كلما اقتربت t من 1 من جهة اليمين، ولذلك تؤول $\operatorname{li}(x)$ إلى سالب ما لا نهاية عند $x = 1$.

أين تساوي li(x) صفرًا؟ عند ثابت رامانوجان–سولدنر، حيث $x \approx 1.4513692349$.

هل li(x) هي نفسها Li(x)؟ النسخة المُزاحة $\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)$ تُستخدم أحيانًا بحيث تكون $\operatorname{Li}(2) = 0$؛ أما هذه الحاسبة فتُرجع القيمة غير المُزاحة $\operatorname{li}(x)$.

الآلات الحاسبة ذات الصلة