حاسبة الانحدار اللوغاريتمي

أدخل الحساب

نتائج

خط الاتجاه اللوغاريتمي المركَّب

y = ٢٫١٢٧٣١٨ + ٢٫٤٧٨٠٠١ · ln(x)

based on 5 data points

التقاطع A	٢٫١٢٧٣١٧٨٦٢٩
المعامل B	٢٫٤٧٨٠٠١٢٨٣٩
معامل الارتباط r	٠٫٩٩٥٩٨٦٦٧٤٤
متوسط ln(x)	٠٫٩٥٧٤٩٨٣٤٨٦
متوسط x (الهندسي)	٢٫٦٠٥١٧١٠٨٤٧
متوسط y	٤٫٥

ما هو الانحدار اللوغاريتمي؟

يقوم الانحدار اللوغاريتمي بتركيب منحنى على الصورة $y = A + B\cdot\ln(x)$ لبياناتك. وهو مفيد عندما تنمو كمية ما بسرعة في البداية ثم تستقر تدريجياً، بحيث تُنتج الزيادات الضربية المتساوية في $x$ زيادات جمعية متساوية تقريباً في $y$. وبأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل قيمة من قيم $x$، تتحول المشكلة إلى مجرد تركيب خط مستقيم بطريقة المربعات الصغرى على المتغير المحوَّل $u = \ln(x)$.

مخطط مبعثر مع منحنى لوغاريتمي أفضل ملاءمة يرتفع ثم يستوي — يلائم الانحدار اللوغاريتمي منحنى $y = A + B\cdot\ln(x)$ يرتفع بحدة ثم يستوي.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخِل بياناتك في منطقة الجدول، بمعدل زوج واحد (x، y) في كل سطر، مفصولاً بفاصلة أو مسافة. يجب أن تكون كل قيمة من قيم $x$ موجبة تماماً، لأن $\ln(x)$ غير معرَّف للأصفار أو الأعداد السالبة؛ وتُتجاهل هذه الصفوف والأسطر الفارغة. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها، ثم اقرأ التقاطع المركَّب $A$ والمعامل $B$ ومعامل الارتباط $r$ والمتوسطات.

شرح المعادلة

لنفترض أن $u_i = \ln(x_i)$. احسب متوسطي $u$ و $y$، ثم مجاميع المربعات $S_{xx} = \sum (u-\bar{u})^2$ و $S_{yy} = \sum (y-\bar{y})^2$ وحاصل الضرب التقاطعي $S_{xy} = \sum (u-\bar{u})(y-\bar{y})$. الميل هو $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},$$ والتقاطع هو $$A = \bar{y} - B\cdot\bar{u},$$ ومعامل الارتباط هو $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}.$$ لاحظ أن «متوسط x» المعروض هو المتوسط الهندسي $\exp(\bar{u})$، وليس المتوسط الحسابي، لأن عملية التركيب تجري في الفضاء اللوغاريتمي.

اعلان

رسم توضيحي يبيّن التقاطع A ومعامل الميل B على منحنى لوغاريتمي — تحدد $A$ الموضع الرأسي للمنحنى، بينما تتحكم $B$ في مدى حدة ارتفاعه مع $\ln(x)$.

مثال محلول

للنقاط (1، 2.0) و(2، 4.0) و(3، 5.0) و(4، 5.5) و(5، 6.0): $\text{meanLnX} = 0.957498$، $\text{meanY} = 4.5$، $S_{xx} = 1.615493$، $S_{yy} = 10.0$، $S_{xy} = 4.003192$. وبذلك يكون $B = 2.4780$، و $A = 2.1273$، و $r = 0.9963$ (ارتباط قوي). والخط المركَّب هو $$y = 2.1273 + 2.4780\cdot\ln(x),$$ والمتوسط الهندسي $x = \exp(0.957498) = 2.6051$.

الأسئلة الشائعة

لماذا لا يساوي «متوسط x» المتوسط الحسابي لقيم x لديّ؟ لأن الانحدار يُحسب على $\ln(x)$، فإن المركز الطبيعي لبيانات $x$ في هذا النموذج هو المتوسط الهندسي $\exp(\text{متوسط } \ln x)$، وهو القيمة المعروضة.

كيف أقرأ معامل الارتباط r؟ القيمة المطلقة $|r|$ الأكبر من 0.7 تدل على علاقة قوية، ومن 0.4 إلى 0.7 علاقة متوسطة، ومن 0.2 إلى 0.4 علاقة ضعيفة، وأقل من 0.2 يعني انعدام الارتباط عملياً.

ماذا لو كانت كل قيم x متساوية؟ عندئذٍ يكون $S_{xx} = 0$ ويصبح الميل غير معرَّف (قسمة على صفر)، فلا يمكن إجراء التركيب؛ إذ تحتاج إلى قيمتين مختلفتين على الأقل من قيم $x$.

الآلات الحاسبة ذات الصلة