लॉगरिदमिक रिग्रेशन क्या है?
लॉगरिदमिक रिग्रेशन आपके डेटा पर \(y = A + B\cdot\ln(x)\) रूप का एक वक्र (curve) फिट करता है। यह तब उपयोगी होता है जब कोई मात्रा शुरुआत में तेज़ी से बढ़ती है और फिर धीरे-धीरे स्थिर होने लगती है — यानी x में बराबर गुणनात्मक (multiplicative) बदलाव से y में लगभग बराबर योगात्मक (additive) बदलाव आता है। हर x मान का प्राकृतिक लघुगणक (natural log) लेने पर यह समस्या रूपांतरित चर \(u = \ln(x)\) में एक साधारण सीधी रेखा (least-squares) फिट बन जाती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
टेबल वाले हिस्से में अपना डेटा डालें — हर पंक्ति में एक (x, y) जोड़ा, जिसे कॉमा या स्पेस से अलग करें। हर x मान का सख़्ती से धनात्मक (positive) होना ज़रूरी है, क्योंकि शून्य या ऋणात्मक संख्याओं के लिए \(\ln(x)\) परिभाषित नहीं होता; ऐसी पंक्तियाँ और खाली लाइनें अनदेखी कर दी जाती हैं। चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, फिर फिट किया गया इंटरसेप्ट A, गुणांक B, सहसंबंध गुणांक r और माध्य देखें।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(u_i = \ln(x_i)\)। पहले u और y के माध्य निकालें, फिर वर्गों के योग \(S_{xx} = \sum (u-\bar{u})^2\), \(S_{yy} = \sum (y-\bar{y})^2\), और क्रॉस-प्रोडक्ट \(S_{xy} = \sum (u-\bar{u})(y-\bar{y})\) ज्ञात करें। ढाल (slope) \(B = S_{xy} / S_{xx}\) है, इंटरसेप्ट \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{u}\) है, और सहसंबंध \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) है। निम्न सूत्र पूरी फिट को सारांशित करता है:
$$y = A + B\,\ln(x) \quad\text{fit to}\;\text{Data }(x_i,\,y_i)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{\sum (u_i - \bar{u})(y_i - \bar{y})}{\sum (u_i - \bar{u})^2}, \quad u_i = \ln(x_i) \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{u} \\ r &= \frac{\sum (u_i - \bar{u})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (u_i - \bar{u})^2 \,\sum (y_i - \bar{y})^2}} \end{aligned} \right.$$ध्यान दें कि दिखाया गया "माध्य x" वास्तव में ज्यामितीय (geometric) माध्य \(\exp(\bar{u})\) है, अंकगणितीय माध्य नहीं — क्योंकि फिटिंग लॉग स्पेस में की जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदुओं (1, 2.0), (2, 4.0), (3, 5.0), (4, 5.5), (5, 6.0) के लिए: \(\text{meanLnX} = 0.957498\), \(\text{meanY} = 4.5\), \(S_{xx} = 1.615493\), \(S_{yy} = 10.0\), \(S_{xy} = 4.003192\)। तो \(B = 2.4780\), \(A = 2.1273\), और \(r = 0.9963\) (मज़बूत सहसंबंध)। फिट की गई रेखा है $$y = 2.1273 + 2.4780\cdot\ln(x),$$ और ज्यामितीय माध्य \(x = \exp(0.957498) = 2.6051\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
"माध्य x" मेरे x मानों का साधारण औसत क्यों नहीं है? क्योंकि रिग्रेशन की गणना \(\ln(x)\) पर होती है, इसलिए इस मॉडल में x डेटा का स्वाभाविक केंद्र ज्यामितीय माध्य \(\exp(\overline{\ln x})\) होता है — और यही रिपोर्ट किया जाता है।
सहसंबंध गुणांक r को कैसे समझें? \(|r|\) का मान 0.7 से ऊपर हो तो मज़बूत संबंध, 0.4-0.7 मध्यम, 0.2-0.4 कमज़ोर, और 0.2 से नीचे हो तो लगभग कोई संबंध नहीं माना जाता।
अगर मेरे सभी x मान बराबर हों तो क्या होगा? तब \(S_{xx} = 0\) हो जाएगा और ढाल अपरिभाषित (शून्य से भाग) हो जाएगी, इसलिए फिट की गणना नहीं हो सकती; आपको कम से कम दो अलग-अलग x मानों की ज़रूरत होगी।
