Hồi quy logarit là gì?
Hồi quy logarit khớp một đường cong có dạng \(y = A + B\cdot\ln(x)\) với dữ liệu của bạn. Mô hình này hữu ích khi một đại lượng tăng nhanh ở giai đoạn đầu rồi dần chững lại, sao cho mỗi bước nhân giống nhau ở x lại tạo ra mức tăng cộng xấp xỉ bằng nhau ở y. Bằng cách lấy logarit tự nhiên của mọi giá trị x, bài toán trở thành phép khớp đường thẳng thông thường (bình phương tối thiểu) theo biến đã biến đổi \(u = \ln(x)\).
Cách sử dụng máy tính
Nhập dữ liệu vào vùng bảng, mỗi dòng một cặp (x, y), phân tách bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. Mọi giá trị x bắt buộc phải dương tuyệt đối vì \(\ln(x)\) không xác định với số 0 hoặc số âm; những dòng như vậy và các dòng trống sẽ bị bỏ qua. Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi đọc kết quả hệ số chặn A, hệ số góc B, hệ số tương quan r và các giá trị trung bình.
Giải thích công thức
Đặt \(u_i = \ln(x_i)\). Tính giá trị trung bình của u và y, sau đó tính các tổng bình phương \(S_{xx} = \sum (u - \bar{u})^2\), \(S_{yy} = \sum (y - \bar{y})^2\) và tích chéo \(S_{xy} = \sum (u - \bar{u})(y - \bar{y})\). Hệ số góc là $$ B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} $$ hệ số chặn là $$ A = \bar{y} - B\cdot\bar{u} $$ và hệ số tương quan là $$ r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}} $$ Lưu ý rằng "giá trị trung bình của x" được hiển thị là trung bình nhân \(\exp(\bar{u})\), không phải trung bình cộng, vì phép khớp được thực hiện trong không gian logarit.
Ví dụ minh họa
Với các điểm (1, 2.0), (2, 4.0), (3, 5.0), (4, 5.5), (5, 6.0): \(\text{meanLnX} = 0.957498\), \(\text{meanY} = 4.5\), \(S_{xx} = 1.615493\), \(S_{yy} = 10.0\), \(S_{xy} = 4.003192\). Vậy \(B = 2.4780\), \(A = 2.1273\), và \(r = 0.9963\) (tương quan mạnh). Đường khớp là $$ y = 2.1273 + 2.4780\cdot\ln(x) $$ và trung bình nhân của \(x = \exp(0.957498) = 2.6051\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao "giá trị trung bình của x" không phải là trung bình cộng các giá trị x của tôi? Vì hồi quy được tính trên \(\ln(x)\), tâm tự nhiên của dữ liệu x trong mô hình này là trung bình nhân \(\exp(\text{trung bình của } \ln x)\), và đó chính là giá trị được báo cáo.
Đọc hệ số tương quan r như thế nào? \(|r|\) trên 0.7 cho thấy mối quan hệ mạnh, 0.4-0.7 là trung bình, 0.2-0.4 là yếu, và dưới 0.2 thì gần như không có tương quan.
Nếu tất cả giá trị x của tôi đều bằng nhau thì sao? Khi đó \(S_{xx} = 0\) và hệ số góc không xác định (chia cho 0), nên không thể tính được phép khớp; bạn cần ít nhất hai giá trị x khác nhau.
