Tích phân logarit li(x) là gì?
Hàm tích phân logarit, ký hiệu \(\operatorname{li}(x)\), là một hàm đặc biệt được định nghĩa bằng tích phân của \(1/\ln(t)\) từ 0 đến x. Hàm này xuất hiện khắp lý thuyết số giải tích, nổi tiếng nhất là vai trò xấp xỉ bậc đầu của hàm đếm số nguyên tố \(\pi(x)\) trong Định lý số nguyên tố: số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x xấp xỉ bằng \(\operatorname{li}(x)\). Vì hàm dưới dấu tích phân có cực điểm tại \(t = 1\), nên với \(x > 1\), tích phân được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy — đây chính là định nghĩa chuẩn.
Cách dùng máy tính này
Nhập bất kỳ giá trị thực x nào thỏa mãn \(x > 0\) và \(x \ne 1\). Máy tính sẽ trả về \(\operatorname{li}(x)\) với độ chính xác kép đầy đủ (khoảng 15 chữ số có nghĩa). Các giá trị x nằm giữa 0 và 1 cho kết quả âm hữu hạn; \(\operatorname{li}(0) = 0\) và \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) (được báo là không xác định). Với \(x \le 0\), hàm li thực không xác định.
Giải thích công thức
Công cụ này dùng đẳng thức \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\), trong đó Ei là tích phân mũ. Với \(u = \ln(x)\) và hằng số Euler-Mascheroni \(\gamma = 0{,}5772156649\), ta tính chuỗi hội tụ $$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$ Chuỗi hội tụ với mọi số thực u khác 0 và được cộng dồn cho đến khi mỗi số hạng nhỏ hơn khoảng \(10^{-18}\) so với tổng đang chạy.
Ví dụ minh họa
Với \(x = 2\): \(u = \ln(2) = 0{,}6931472\), \(\ln|u| = -0{,}3665129\), và chuỗi cho tổng khoảng \(0{,}8344608\). Cộng thêm gamma ta được $$\operatorname{li}(2) = 0{,}5772157 - 0{,}3665129 + 0{,}8344608 = 1{,}04516378$$ khớp với giá trị tham chiếu đã biết \(1{,}0451637801\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao li(1) là vô cực? Hàm dưới dấu tích phân \(1/\ln(t)\) tiến ra vô cực khi t tiến tới 1 từ phía trên, nên \(\operatorname{li}(x)\) dần tới âm vô cực tại \(x = 1\).
li(x) bằng 0 ở đâu? Tại hằng số Ramanujan-Soldner, \(x \approx 1{,}4513692349\).
li(x) có giống Li(x) không? Phiên bản dịch chuyển \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) đôi khi được dùng để \(\operatorname{Li}(2) = 0\); máy tính này trả về \(\operatorname{li}(x)\) không dịch chuyển.
