¿Qué es el logaritmo integral li(x)?
El logaritmo integral, que se escribe \(\operatorname{li}(x)\), es una función especial definida como la integral de \(1/\ln(t)\) desde 0 hasta x. Aparece por todas partes en la teoría analítica de números, sobre todo como la aproximación de orden principal a la función contadora de primos \(\pi(x)\) en el teorema de los números primos: la cantidad de primos menores que x es aproximadamente \(\operatorname{li}(x)\). Como el integrando tiene un polo en \(t = 1\), para \(x > 1\) la integral se interpreta como un valor principal de Cauchy, que es la definición habitual.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cualquier valor real x con \(x > 0\) y \(x \ne 1\). La calculadora devuelve \(\operatorname{li}(x)\) con precisión doble completa (unas 15 cifras significativas). Los valores de x entre 0 y 1 dan un resultado finito negativo; \(\operatorname{li}(0) = 0\) y \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) (que se indica como indefinido). Para \(x \le 0\) el li real no está definido.
La fórmula explicada
Esta herramienta usa la identidad \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\), donde Ei es la integral exponencial. Con \(u = \ln(x)\) y la constante de Euler-Mascheroni \(\gamma = 0{,}5772156649\), evaluamos la serie convergente $$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$ La serie converge para todo real u distinto de 0 y se suma hasta que cada término queda por debajo de unas \(1\mathrm{e}{-18}\) veces el total acumulado.
Ejemplo resuelto
Para \(x = 2\): \(u = \ln(2) = 0{,}6931472\), \(\ln|u| = -0{,}3665129\), y la serie suma alrededor de \(0{,}8344608\). Al sumar gamma obtenemos $$\operatorname{li}(2) = 0{,}5772157 - 0{,}3665129 + 0{,}8344608 = 1{,}04516378,$$ que coincide con el valor de referencia conocido \(1{,}0451637801\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué li(1) es infinito? El integrando \(1/\ln(t)\) se dispara cuando t se acerca a 1 por la derecha, de modo que \(\operatorname{li}(x)\) tiende a menos infinito en \(x = 1\).
¿Dónde se anula li(x)? En la constante de Ramanujan-Soldner, \(x \approx 1{,}4513692349\).
¿Es li(x) lo mismo que Li(x)? A veces se emplea la versión desplazada \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) para que \(\operatorname{Li}(2) = 0\); esta calculadora devuelve \(\operatorname{li}(x)\) sin desplazamiento.
