什么是对数积分函数 li(x)？
对数积分函数记作 \(\operatorname{li}(x)\)，是一个特殊函数，定义为 \(1/\ln(t)\) 从 0 到 x 的积分。它在解析数论中无处不在，其中最著名的应用是在素数定理中作为素数计数函数 \(\pi(x)\) 的首阶逼近：小于 x 的素数个数大约等于 \(\operatorname{li}(x)\)。由于被积函数在 \(t = 1\) 处有一个极点，因此当 \(x > 1\) 时，该积分需按柯西主值（Cauchy principal value）来理解，这也是标准的定义方式。
如何使用这个计算器
输入任意满足 \(x > 0\) 且 \(x \ne 1\) 的实数。计算器会以完整的双精度（约 15 位有效数字）返回 \(\operatorname{li}(x)\) 的值。当 x 取 0 到 1 之间的值时，结果为一个有限的负数；\(\operatorname{li}(0) = 0\)，而 \(\operatorname{li}(1) = -\infty\)（标记为未定义）。对于 \(x \le 0\) 的情形，实值的 \(\operatorname{li}(x)\) 没有定义。
计算公式解析
本工具利用恒等式 \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\)，其中 \(\operatorname{Ei}\) 为指数积分函数。设 \(u = \ln(x)\)，并取欧拉-马歇罗尼常数 \(\gamma = 0.5772156649\)，我们便可通过收敛级数 $$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$ 来求值。对于任何非零实数 u，该级数都收敛；计算时会持续累加各项，直到某一项的值小于当前累计和的约 \(1\mathrm{e}{-18}\) 倍为止。
计算实例
以 \(x = 2\) 为例：\(u = \ln(2) = 0.6931472\)，\(\ln|u| = -0.3665129\)，级数求和约为 \(0.8344608\)。再加上 \(\gamma\)，可得 $$\operatorname{li}(2) = 0.5772157 - 0.3665129 + 0.8344608 = 1.04516378$$ 与已知的参考值 \(1.0451637801\) 一致。
常见问题
为什么 li(1) 是无穷大？当 t 从右侧趋近于 1 时，被积函数 \(1/\ln(t)\) 会发散，因此 \(\operatorname{li}(x)\) 在 \(x = 1\) 处趋于负无穷。
li(x) 在哪里等于零？在拉马努金-索尔德纳常数（Ramanujan-Soldner constant）处，即 \(x \approx 1.4513692349\)。
li(x) 和 Li(x) 是同一个函数吗？带偏移的版本 \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) 有时会被使用，这样可使 \(\operatorname{Li}(2) = 0\)；而本计算器返回的是不带偏移的 \(\operatorname{li}(x)\)。
