定积分计算器能做什么
这个工具用于计算定积分 \(\int_a^b f(x)\,dx\)，也就是曲线与 x 轴之间在某个区间上的带符号面积。由于并非所有函数都能写出简洁的原函数（不定积分），本计算器采用了稳健的数值方法——复合辛普森法（composite Simpson rule），对光滑函数能给出非常精确的结果。你只需选择一个内置函数，设定积分下限和上限，再决定划分多少个子区间，即可读出面积。
使用方法
先从列表中选择一个函数 \(f(x)\)，输入积分下限 \(a\) 和上限 \(b\)，再设定子区间数量 \(n\)（子区间越多，结果越精确；由于辛普森法要求 \(n\) 为偶数，工具会自动将其向上取整为最接近的偶数）。点击计算，即可得到积分的近似值以及所使用的步长。
计算公式
复合辛普森法将区间 \([a,b]\) 等分成 \(n\) 个宽度为 \(h=\tfrac{b-a}{n}\) 的小段，并按 1、4、2、4、…、4、1 的系数对各采样点加权：
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$其中 \(x_i = a + i\,h\)，\(h=\frac{b-a}{n}\)，且 \(n\) 为偶数。
示例演算
计算 \(\int_0^2 x^2\,dx\)，取 \(n=2\)。此时 \(h=\frac{2-0}{2}=1\)，采样点为 \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\)：
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$这与精确答案 \(\tfrac{8}{3}\) 完全一致——辛普森法对不超过三次的多项式是精确的。
受支持函数的精确积分
计算器以数值方式近似每个积分，但每个受支持的函数都有一个已知的闭式原函数 \(F(x)\) 满足 \(F'(x)=f(x)\)。根据微积分基本定理，精确值为 \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)。使用下表来检查数值答案或了解函数在哪里未定义。
| 菜单值 | \(f(x)\) | 原函数 \(F(x)\) | 定义域限制 |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | 所有实数 \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | 所有实数 \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\)；区间不能穿过或接触 0 |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | 所有实数 \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | 所有实数 \(x\)（弧度） |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | 所有实数 \(x\)（弧度） |
作为一个验证示例，\(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333。由于 \(x^2\) 是 2 次多项式，辛普森法则即使在最小 \(n=2\) 时也能精确返回此值。
关键术语
- 定积分 — 量 \(\int_a^b f(x)\,dx\)，表示 \(f\) 在极限 \(a\) 和 \(b\) 之间的净（有符号）累积的单个数字。
- 有符号面积 — 积分的值将 \(x\) 轴上方的面积计为正，下方的面积计为负，因此区域可以相互抵消；结果不一定是总几何面积。
- 子区间 — \([a,b]\) 分成 \(n\) 个相等部分之一；辛普森法则在每对连续子区间上拟合一条抛物线。
- 步长 \(h\) — 每个子区间的公共宽度，\(h=\dfrac{b-a}{n}\)；较小的 \(h\) 通常给出更精确的近似。
- 采样点 \(x_i\) — \(n+1\) 个均匀间隔的节点 \(x_i = a + i\,h\)，其中 \(i = 0,1,\ldots,n\)，在这些点处评估函数。
- 偶数 \(n\) 要求 — 辛普森法则将子区间配对成抛物线弧，因此子区间数 \(n\) 必须为偶数；加权模式为 \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\)。
- 原函数 — 满足 \(F'(x)=f(x)\) 的函数 \(F(x)\)；当已知时，精确积分为 \(F(b)-F(a)\)，数值估计会近似这个值。
常见问题
支持哪些函数？精选了一组常用函数：\(x^2\)、\(x^3\)、\(1/x\)、\(\sqrt{x}\)、\(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\) 和 \(\cos x\)。其中三角函数使用弧度制。
为什么 \(n\) 必须是偶数？辛普森法将相邻的子区间两两配对，用抛物线弧来逼近曲线，因此子区间总数必须为偶数。若输入为奇数，工具会自动加 1 向上取整。
结果是精确值吗？对于不超过三次的多项式，结果基本上是精确的；对于其他函数，则是非常接近的数值近似，且随着 \(n\) 增大会越来越精确。
