À quoi sert le calculateur d'intégrale définie
Cet outil calcule l'intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) — c'est-à-dire l'aire signée comprise entre une courbe et l'axe des abscisses sur un intervalle donné. Comme toutes les fonctions n'admettent pas une primitive simple sous forme analytique, ce calculateur s'appuie sur une méthode numérique robuste (la méthode de Simpson composite), qui fournit des résultats d'une grande précision pour les fonctions régulières. Il vous suffit de choisir une fonction prédéfinie, de fixer les bornes inférieure et supérieure, d'indiquer le nombre de sous-intervalles, puis de lire la valeur de l'aire.
Comment l'utiliser
Sélectionnez une fonction \(f(x)\) dans la liste. Saisissez la borne inférieure \(a\) et la borne supérieure \(b\). Indiquez le nombre de sous-intervalles \(n\) (plus il y a de sous-intervalles, plus la précision est élevée ; l'outil arrondit automatiquement \(n\) au nombre pair supérieur le plus proche, comme l'exige la méthode de Simpson). Lancez le calcul pour obtenir la valeur approchée de l'intégrale ainsi que le pas utilisé.
La formule
La méthode de Simpson composite découpe \([a,b]\) en \(n\) morceaux égaux de largeur \(h=\tfrac{b-a}{n}\) et pondère les points d'échantillonnage selon le schéma 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 :
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$où \(x_i = a + i\,h\), \(h=\frac{b-a}{n}\), et \(n\) est pair.
Exemple résolu
Calculons \(\int_0^2 x^2\,dx\) avec \(n=2\). On a ici \(h=\frac{2-0}{2}=1\) et les points d'échantillonnage \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\) :
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$Ce résultat coïncide avec la valeur exacte \(\tfrac{8}{3}\) — la méthode de Simpson est exacte pour les polynômes jusqu'au degré 3.
Intégrales Exactes des Fonctions Supportées
La calculatrice approxime chaque intégrale numériquement, mais chaque fonction supportée possède une primitive de forme fermée connue \(F(x)\) satisfaisant \(F'(x)=f(x)\). Par le Théorème Fondamental du Calcul, la valeur exacte est \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\). Utilisez le tableau ci-dessous pour vérifier la réponse numérique ou pour comprendre où une fonction est indéfinie.
| Valeur du menu | \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Restriction du domaine |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | Tous les \(x\) réels |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | Tous les \(x\) réels |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) ; l'intervalle ne doit pas croiser ou toucher 0 |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | Tous les \(x\) réels |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | Tous les \(x\) réels (radians) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | Tous les \(x\) réels (radians) |
À titre de vérification détaillée, \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333. Parce que \(x^2\) est un polynôme de degré 2, la règle de Simpson retourne cette valeur exactement même au plus petit \(n=2\).
Termes Clés
- Intégrale définie — la quantité \(\int_a^b f(x)\,dx\), un seul nombre donnant l'accumulation nette (signée) de \(f\) entre les limites \(a\) et \(b\).
- Aire signée — la valeur de l'intégrale compte l'aire au-dessus de l'axe \(x\) comme positive et l'aire au-dessous comme négative, de sorte que les régions peuvent s'annuler ; le résultat n'est pas nécessairement l'aire géométrique totale.
- Sous-intervalle — l'un des \(n\) morceaux égaux dans lesquels \([a,b]\) est divisé ; la règle de Simpson ajuste une parabole sur chaque paire consécutive de sous-intervalles.
- Taille de pas \(h\) — la largeur commune de chaque sous-intervalle, \(h=\dfrac{b-a}{n}\) ; un \(h\) plus petit donne généralement une approximation plus précise.
- Points d'échantillonnage \(x_i\) — les \(n+1\) nœuds équidistants \(x_i = a + i\,h\) pour \(i = 0,1,\ldots,n\), où la fonction est évaluée.
- Exigence de \(n\) pair — la règle de Simpson associe les sous-intervalles en arcs paraboliques, donc le nombre de sous-intervalles \(n\) doit être pair ; le motif de pondération est \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\).
- Primitive — une fonction \(F(x)\) avec \(F'(x)=f(x)\) ; quand on en connaît une, l'intégrale exacte est \(F(b)-F(a)\), que l'estimation numérique approxime.
FAQ
Quelles fonctions sont prises en charge ? Une sélection ciblée : \(x^2\), \(x^3\), \(1/x\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\) et \(\cos x\). Les fonctions trigonométriques s'expriment en radians.
Pourquoi \(n\) doit-il être pair ? La méthode de Simpson associe les sous-intervalles deux par deux pour former des arcs de parabole ; elle a donc besoin d'un nombre pair. L'outil arrondit toute valeur impaire à l'entier supérieur.
Le résultat est-il exact ? Pour les polynômes jusqu'au degré 3, il l'est pour ainsi dire parfaitement ; pour les autres fonctions, il s'agit d'une approximation numérique très proche, qui s'améliore à mesure que \(n\) augmente.
