Что вычисляет калькулятор определённого интеграла
Этот инструмент вычисляет определённый интеграл \(\int_a^b f(x)\,dx\) — площадь со знаком между кривой и осью x на заданном отрезке. Поскольку далеко не у каждой функции есть удобная первообразная в замкнутой форме, калькулятор использует надёжный численный метод (составную формулу Симпсона), который даёт очень точный результат для гладких функций. Выберите готовую функцию, задайте нижний и верхний пределы, укажите число отрезков разбиения — и получите искомую площадь.
Как пользоваться
Выберите функцию \(f(x)\) из списка. Введите нижний предел \(a\) и верхний предел \(b\). Задайте число подынтервалов \(n\) (чем их больше, тем выше точность; калькулятор автоматически округляет \(n\) вверх до ближайшего чётного числа, как того требует метод Симпсона). Нажмите «Рассчитать» — и получите приближённое значение интеграла вместе с использованным шагом.
Формула
Составная формула Симпсона разбивает отрезок \([a,b]\) на \(n\) равных частей шириной \(h=\tfrac{b-a}{n}\) и присваивает узлам веса 1, 4, 2, 4, …, 4, 1:
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{нечётные }i}f(x_i)+2\sum_{\text{чётные }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$где \(x_i = a + i\,h\), \(h=\frac{b-a}{n}\), а \(n\) — чётное.
Разбор примера
Вычислим \(\int_0^2 x^2\,dx\) при \(n=2\). Здесь \(h=\frac{2-0}{2}=1\), узлы \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\):
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$Это совпадает с точным значением \(\tfrac{8}{3}\) — метод Симпсона даёт точный результат для многочленов до третьей степени включительно.
Частые вопросы
Какие функции поддерживаются? Подобранный набор: \(x^2\), \(x^3\), \(1/x\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\) и \(\cos x\). Тригонометрические функции работают в радианах.
Почему \(n\) должно быть чётным? Метод Симпсона объединяет подынтервалы в пары и аппроксимирует их параболами, поэтому их число обязано быть чётным. Нечётное значение калькулятор увеличивает на единицу.
Точен ли результат? Для многочленов до кубической степени он по сути точен; для остальных функций это очень близкое численное приближение, которое тем точнее, чем больше \(n\).
Точные интегралы поддерживаемых функций
Калькулятор вычисляет каждый интеграл численно, но для каждой поддерживаемой функции существует известная замкнутая форма первообразной \(F(x)\), удовлетворяющей условию \(F'(x)=f(x)\). По основной теореме анализа точное значение равно \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\). Используйте таблицу ниже для проверки численного ответа или чтобы понять, где функция не определена.
| Значение меню | \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) | Ограничение области определения |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | Все вещественные \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | Все вещественные \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\); интервал не должен пересекать или касаться нуля |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | Все вещественные \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | Все вещественные \(x\) (радианы) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | Все вещественные \(x\) (радианы) |
В качестве примера проверки, \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333. Поскольку \(x^2\) является многочленом степени 2, правило Симпсона возвращает это значение точно даже при наименьшем \(n=2\).
Ключевые термины
- Определённый интеграл — величина \(\int_a^b f(x)\,dx\), единственное число, дающее чистое (со знаком) накопление \(f\) между пределами \(a\) и \(b\).
- Площадь со знаком — значение интеграла учитывает площадь над осью абсцисс как положительную и площадь под ней как отрицательную, так что области могут взаимно сокращаться; результат не обязательно является общей геометрической площадью.
- Подынтервал — один из \(n\) равных частей, на которые разбивается \([a,b]\); правило Симпсона подгоняет параболу через каждую пару последовательных подынтервалов.
- Размер шага \(h\) — общая ширина каждого подынтервала, \(h=\dfrac{b-a}{n}\); меньший \(h\) обычно даёт более точное приближение.
- Точки отсчёта \(x_i\) — \(n+1\) равномерно расположенных узлов \(x_i = a + i\,h\) для \(i = 0,1,\ldots,n\), где вычисляется функция.
- Требование чётности \(n\) — правило Симпсона объединяет подынтервалы в параболические дуги, поэтому число подынтервалов \(n\) должно быть чётным; схема взвешивания такова: \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\).
- Первообразная — функция \(F(x)\) такая, что \(F'(x)=f(x)\); когда она известна, точный интеграл равен \(F(b)-F(a)\), что численная оценка аппроксимирует.
