Máy tính tích phân xác định này làm được gì?
Công cụ này tính tích phân xác định \(\int_a^b f(x)\,dx\) — tức diện tích có dấu giữa đường cong và trục hoành trên một khoảng. Vì không phải hàm nào cũng có nguyên hàm dạng công thức gọn gàng, máy tính áp dụng một phương pháp số đáng tin cậy (quy tắc Simpson tổng hợp), cho kết quả có độ chính xác rất cao với các hàm trơn. Bạn chỉ cần chọn một hàm có sẵn, đặt cận dưới và cận trên, chọn số khoảng chia, rồi đọc kết quả diện tích.
Cách sử dụng
Chọn một hàm \(f(x)\) trong danh sách. Nhập cận dưới \(a\) và cận trên \(b\). Đặt số khoảng chia \(n\) (càng nhiều khoảng chia thì càng chính xác; công cụ sẽ tự động làm tròn \(n\) lên số chẵn gần nhất, đúng theo yêu cầu của quy tắc Simpson). Bấm tính để nhận giá trị gần đúng của tích phân cùng với bước chia đã sử dụng.
Công thức
Quy tắc Simpson tổng hợp chia \([a,b]\) thành \(n\) đoạn bằng nhau có độ rộng \(h=\tfrac{b-a}{n}\) và gán trọng số cho các điểm lấy mẫu theo thứ tự 1, 4, 2, 4, …, 4, 1:
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$trong đó \(x_i = a + i\,h\), \(h=\frac{b-a}{n}\), và \(n\) là số chẵn.
Ví dụ minh họa
Tính \(\int_0^2 x^2\,dx\) với \(n=2\). Ở đây \(h=\frac{2-0}{2}=1\), các điểm lấy mẫu là \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\):
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$Kết quả này trùng khớp với đáp án chính xác \(\tfrac{8}{3}\) — quy tắc Simpson cho kết quả chính xác tuyệt đối với đa thức bậc không quá 3.
Tích phân chính xác của các hàm được hỗ trợ
Máy tính xấp xỉ từng tích phân bằng số, nhưng mọi hàm được hỗ trợ đều có một nguyên hàm dạng đóng \(F(x)\) thoả mãn \(F'(x)=f(x)\). Theo Định lý cơ bản của Giải tích, giá trị chính xác là \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\). Sử dụng bảng dưới đây để kiểm tra câu trả lời bằng số hoặc để hiểu hàm không xác định ở đâu.
| Giá trị trong menu | \(f(x)\) | Nguyên hàm \(F(x)\) | Hạn chế miền xác định |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | Tất cả \(x\) thực |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | Tất cả \(x\) thực |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\); khoảng không được giao hoặc tiếp xúc 0 |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | Tất cả \(x\) thực |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | Tất cả \(x\) thực (radian) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | Tất cả \(x\) thực (radian) |
Như một ví dụ kiểm tra, \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333. Vì \(x^2\) là một đa thức bậc 2, quy tắc Simpson trả về giá trị này một cách chính xác ngay cả ở \(n=2\) nhỏ nhất.
Các thuật ngữ chính
- Tích phân xác định — đại lượng \(\int_a^b f(x)\,dx\), một số đơn lẻ biểu thị tích lũy ròng (có dấu) của \(f\) giữa các giới hạn \(a\) và \(b\).
- Diện tích có dấu — giá trị của tích phân tính diện tích phía trên trục \(x\) là dương và diện tích phía dưới là âm, do đó các vùng có thể triệt tiêu lẫn nhau; kết quả không nhất thiết phải là tổng diện tích hình học.
- Khoảng con — một trong \(n\) đoạn bằng nhau mà \([a,b]\) được chia; quy tắc Simpson lắp một parabola trên mỗi cặp khoảng con liên tiếp.
- Kích thước bước \(h\) — chiều rộng chung của mỗi khoảng con, \(h=\dfrac{b-a}{n}\); \(h\) nhỏ hơn nói chung cho xấp xỉ chính xác hơn.
- Điểm lấy mẫu \(x_i\) — \(n+1\) nút cách đều \(x_i = a + i\,h\) với \(i = 0,1,\ldots,n\), nơi hàm được đánh giá.
- Yêu cầu \(n\) chẵn — quy tắc Simpson ghép các khoảng con thành các cung parabol, do đó số khoảng con \(n\) phải chẵn; mẫu trọng số là \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\).
- Nguyên hàm — một hàm \(F(x)\) với \(F'(x)=f(x)\); khi biết một nguyên hàm, tích phân chính xác là \(F(b)-F(a)\), mà ước tính số xấp xỉ.
Câu hỏi thường gặp
Công cụ hỗ trợ những hàm nào? Một bộ hàm chọn lọc: \(x^2\), \(x^3\), \(1/x\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\) và \(\cos x\). Các hàm lượng giác dùng đơn vị radian.
Tại sao \(n\) phải là số chẵn? Quy tắc Simpson ghép từng cặp khoảng chia thành các cung parabol, nên cần một số khoảng chẵn. Nếu bạn nhập số lẻ, công cụ sẽ làm tròn lên thêm một đơn vị.
Kết quả có chính xác tuyệt đối không? Với đa thức bậc không quá 3 thì gần như chính xác tuyệt đối; với các hàm khác, đây là giá trị xấp xỉ rất sát và càng tăng \(n\) thì càng chính xác hơn.
