Máy Tính Tích Phân Fresnel Sine S(x)

Nhập phép tính

x (cận trên của tích phân)

Số chữ số thập phân 6 8 10 12 15

Kết quả

Tích phân Fresnel Sine S(x)

0,438259147390355

at x = 1 (pi/2 convention)

Tích phân đồng hành C(x)	0,779893400376823
Định nghĩa	S(x) = tích phân từ 0 đến x của sin(pi·t²/2) dt
Tính đối xứng	S(-x) = -S(x) (hàm lẻ)

Tích Phân Fresnel Sine Là Gì?

Tích phân Fresnel sine \(S(x)\) cùng tích phân cosine đồng hành \(C(x)\) là những hàm đặc biệt xuất hiện phổ biến trong quang học (nhiễu xạ Fresnel), lý thuyết ăng-ten và hình học của đường xoắn Cornu (hay xoắn Euler). Công cụ này dùng quy ước chuẩn hóa pi/2, định nghĩa \(S(x)\) là tích phân từ 0 đến x của \(\sin(\pi t^{2}/2)\,dt\), còn \(C(x)\) là tích phân tương tự nhưng với hàm cosine. Theo quy ước này, cả hai hàm đều tiến dần về \(1/2\) khi x tăng tới vô cực dương.

$$S(\text{x}) = \int_{0}^{\text{x}} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$

Tích phân sin Fresnel \(S(x)\) dao động và hội tụ về \(\pm 1/2\) khi \(x \to \pm\infty\).

Cách Sử Dụng

Bạn chỉ cần nhập một số thực x bất kỳ (dương hoặc âm) và chọn số chữ số thập phân muốn hiển thị. Vì các hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn theo t, nên \(S(x)\) và \(C(x)\) đều là hàm lẻ: \(S(-x) = -S(x)\) và \(C(-x) = -C(x)\). Máy tính sẽ tính giá trị tuyệt đối rồi tự động gán dấu phù hợp. Tại \(x = 0\), cả hai tích phân đều bằng đúng 0.

Giải Thích Công Thức

Không tồn tại dạng đóng sơ cấp cho các hàm này, vì vậy chúng ta phải tính bằng phương pháp số. Với các giá trị x vừa phải, công cụ dùng chuỗi lũy thừa hội tụ nhanh: \(S(x) = \sum (-1)^n (\pi/2)^{2n+1} x^{4n+3} / [(2n+1)!\,(4n+3)]\), và một chuỗi tương tự cho \(C(x)\). Khi \(|x|\) lớn, hàm dưới dấu tích phân dao động rất nhanh, nên ta chuyển sang quy tắc Simpson tổng hợp với số khoảng con tỉ lệ với \(x^{2}\) nhằm giữ độ chính xác.

\(S(x)\) là diện tích có dấu dưới \(\sin(\pi t^{2}/2)\) từ 0 đến x.

Ví Dụ Minh Họa (x = 1)

Cộng các số hạng của chuỗi: \(0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \ldots\) ta được \(S(1) \approx 0.4382591474\), khớp với giá trị tham chiếu đã công bố là \(0.4382591473903\). Giá trị đồng hành tương ứng là \(C(1) \approx 0.7798934004\).

Câu Hỏi Thường Gặp

Công cụ dùng cách chuẩn hóa nào? Dạng chuẩn hóa pi/2, tức là đặt hệ số \(\pi/2\) ngay bên trong hàm sine và cosine, nhờ đó giới hạn là \(1/2\) thay vì liên quan đến \(\sqrt{\pi/8}\).

Điều gì xảy ra khi x lớn? \(S(x)\) và \(C(x)\) dao động quanh giá trị \(1/2\) với biên độ ngày càng nhỏ và hội tụ về \(1/2\) khi x tiến tới vô cực (và về \(-1/2\) khi x tiến tới âm vô cực).

C(x) có được tính luôn không? Có. Tích phân cosine đồng hành \(C(x)\) được hiển thị như một kết quả phụ bên cạnh kết quả chính \(S(x)\).