¿Qué es la integral seno de Fresnel?
La integral seno de Fresnel \(S(x)\) y su compañera, la integral coseno \(C(x)\), son funciones especiales que aparecen constantemente en óptica (la difracción de Fresnel), en la teoría de antenas y en la geometría de la espiral de Cornu (o de Euler). Esta calculadora emplea la convención normalizada con \(\pi/2\), en la que \(S(x)\) se define como la integral entre 0 y \(x\) de \(\sin(\pi t^2 / 2)\,dt\), y \(C(x)\) como esa misma integral pero con el coseno. Con esta convención, ambas funciones tienden a \(1/2\) a medida que \(x\) crece hacia el infinito positivo.
$$S(\text{x}) = \int_{0}^{\text{x}} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$
Cómo usarla
Introduce cualquier valor real de \(x\) (positivo o negativo) y elige cuántos decimales quieres mostrar. Como los integrandos son pares en \(t\), tanto \(S(x)\) como \(C(x)\) son funciones impares: \(S(-x) = -S(x)\) y \(C(-x) = -C(x)\). La calculadora evalúa la magnitud y aplica el signo de forma automática. En \(x = 0\), ambas integrales valen exactamente 0.
La fórmula explicada
No existe una forma cerrada elemental, así que el cálculo se realiza de manera numérica. Para argumentos moderados se utiliza la serie de potencias, que converge rápidamente: $$S(x) = \sum (-1)^{n}\,\frac{(\pi/2)^{2n+1}\,x^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)}$$ junto con una serie análoga para \(C(x)\). Cuando \(|x|\) es grande, el integrando oscila muy deprisa, por lo que pasamos a la regla compuesta de Simpson, ajustando el número de subintervalos en proporción a \(x^2\) para mantener la precisión.
Ejemplo resuelto (x = 1)
Al sumar la serie: $$0{,}52359878 - 0{,}09228062 + 0{,}00724487 - 0{,}00031216 + 0{,}00000845 + \ldots \approx 0{,}4382591474$$ obtenemos \(S(1) \approx 0{,}4382591474\), que coincide con el valor de referencia publicado \(0{,}4382591473903\). El valor de la función compañera es \(C(1) \approx 0{,}7798934004\).
Preguntas frecuentes
¿Qué normalización se utiliza? La forma normalizada con \(\pi/2\), con el factor \(\pi/2\) dentro del seno y del coseno, de modo que los límites son \(1/2\) en lugar de involucrar \(\sqrt{\pi/8}\).
¿Qué ocurre para valores grandes de x? \(S(x)\) y \(C(x)\) oscilan alrededor de \(1/2\) con una amplitud cada vez menor y convergen a \(1/2\) cuando \(x\) tiende a infinito (y a \(-1/2\) cuando \(x\) tiende a menos infinito).
¿También se calcula C(x)? Sí: la función compañera coseno \(C(x)\) se muestra como resultado secundario, junto al resultado principal \(S(x)\).
