¿Qué es un tronco de pirámide cuadrada?
Un tronco de pirámide cuadrada es la figura que queda cuando se corta la punta de una pirámide cuadrada regular mediante un plano paralelo a su base. Tiene una cara inferior cuadrada de lado a, una cara superior cuadrada más pequeña de lado b situada justo encima y paralela a ella, una altura perpendicular h entre ambas caras y cuatro caras laterales que son trapecios isósceles congruentes. Esta calculadora funciona con cualquier unidad de longitud, siempre que la uses de forma coherente: así el volumen resulta en esa unidad al cubo y las áreas en esa unidad al cuadrado. Las fórmulas son geometría pura y se aplican exactamente igual en cualquier lugar.
Cómo usarla
Introduce la longitud de la arista inferior a, la de la arista superior b (usa 0 para una pirámide completa, o pon b = a para obtener un prisma) y la altura h. Las tres medidas deben expresarse en la misma unidad. La herramienta te devuelve el volumen, el área lateral de los cuatro trapecios, la superficie total incluyendo ambas caras cuadradas y la apotema (altura inclinada) de una cara lateral.
Las fórmulas explicadas
El volumen se obtiene con la regla general del prismatoide o tronco: \( V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right) \). Como las caras son cuadradas, \( A_1 = a^2 \) y \( A_2 = b^2 \), de modo que $$ V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right) $$ Cada cara lateral es un trapecio de lados paralelos a y b y altura inclinada $$ \ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} $$ Un trapecio tiene área \( \frac{a+b}{2}\cdot \ell \), y los cuatro juntos dan el área lateral $$ S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell $$ Si sumamos las dos caras cuadradas obtenemos la superficie total $$ S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2 $$
Ejemplo resuelto
Tomemos a = 2, b = 1, h = 1. Volumen = \( \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}33333 \). Altura inclinada \( \ell = \sqrt{1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118034 \). Área lateral \( = 2(3)(1{,}118034) \approx 6{,}708204 \). Superficie total \( = 6{,}708204 + 4 + 1 \approx 11{,}708204 \).
Preguntas frecuentes
¿Y si la arista superior es 0? El tronco se convierte en una pirámide cuadrada completa: \( V = \frac{h\cdot a^2}{3} \) y \( S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \).
¿Y si a es igual a b? La figura es un prisma rectangular (prisma cuadrado): \( \ell = h \), \( V = a^2 h \) y \( S = 4ah + 2a^2 \).
¿Tengo que elegir unidades? No. Usa cualquier unidad de longitud de manera coherente; el resultado se expresa simplemente en esa unidad al cubo (volumen) y al cuadrado (áreas).
