वर्गाकार फ्रस्टम क्या है?
वर्गाकार फ्रस्टम, यानी कटा हुआ वर्ग पिरामिड, वह आकृति है जो किसी सामान्य वर्ग पिरामिड का ऊपरी हिस्सा उसके आधार के समानांतर काट देने पर बचती है। इसका निचला फलक एक वर्ग होता है जिसकी भुजा a है, और ठीक उसके ऊपर समानांतर रूप से एक छोटा वर्गाकार फलक होता है जिसकी भुजा b है। दोनों फलकों के बीच लंबवत ऊँचाई h होती है, और चारों ओर चार एक जैसे समद्विबाहु समलंब (ट्रैपीज़ॉइड) वाले पार्श्व फलक होते हैं। यह कैलकुलेटर किसी भी एक समान लंबाई इकाई में काम करता है — इसलिए आयतन उस इकाई के घन में और क्षेत्रफल उस इकाई के वर्ग में मिलता है। यह शुद्ध ज्यामिति है और दुनिया भर में एक समान लागू होती है।
इसका उपयोग कैसे करें
नीचे के किनारे की लंबाई a, ऊपर के किनारे की लंबाई b (पूर्ण पिरामिड के लिए 0 दें, या किसी डिब्बे के लिए b = a रखें) और ऊँचाई h दर्ज करें। तीनों मान एक ही इकाई में होने चाहिए। यह टूल आपको आयतन, चारों समलंबों का पार्श्व (साइड) पृष्ठीय क्षेत्रफल, दोनों वर्गाकार फलकों सहित कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, और एक पार्श्व फलक की तिरछी ऊँचाई (स्लांट हाइट) बताता है।
सूत्रों की पूरी समझ
आयतन के लिए सामान्य प्रिज़्मेटॉइड/फ्रस्टम नियम का उपयोग होता है: $$V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$$ वर्गाकार फलकों के लिए \(A_1 = a^2\) और \(A_2 = b^2\), इसलिए $$V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$$ प्रत्येक पार्श्व फलक एक समलंब है जिसकी समानांतर भुजाएँ \(a\) और \(b\) हैं और तिरछी ऊँचाई $$\ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$ है। एक समलंब का क्षेत्रफल \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\) होता है, और चारों मिलकर पार्श्व क्षेत्रफल \(S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell\) देते हैं। दोनों वर्गाकार फलक जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $$S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2$$ मिलता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 2\), \(b = 1\), \(h = 1\)। आयतन $$= \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2.33333$$ तिरछी ऊँचाई $$\ell = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.118034$$ पार्श्व क्षेत्रफल $$= 2(3)(1.118034) \approx 6.708204$$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $$= 6.708204 + 4 + 1 \approx 11.708204$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर ऊपर का किनारा 0 हो तो? तब फ्रस्टम एक पूर्ण वर्ग पिरामिड बन जाता है: \(V = \frac{h\cdot a^2}{3}\) और \(S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)।
अगर a और b बराबर हों तो? तब आकृति एक आयताकार डिब्बा (वर्ग प्रिज़्म) बन जाती है: \(\ell = h\), \(V = a^2 h\), और \(S = 4ah + 2a^2\)।
क्या मुझे कोई इकाई चुननी ज़रूरी है? नहीं। किसी भी एक लंबाई इकाई का लगातार उपयोग करें; परिणाम उसी इकाई के घन (आयतन) और वर्ग (क्षेत्रफल) में आएगा।
