Что такое усечённая квадратная пирамида?
Усечённая квадратная пирамида — это тело, которое получается, если у правильной квадратной пирамиды отрезать вершину плоскостью, параллельной основанию. У неё есть квадратное нижнее основание со стороной a, меньшее квадратное верхнее основание со стороной b, расположенное точно над нижним и параллельно ему, перпендикулярная высота h между основаниями и четыре одинаковые боковые грани в форме равнобедренных трапеций. Калькулятор работает в любой единице длины — важно лишь использовать её для всех величин: тогда объём получится в кубических единицах, а площади — в квадратных. Расчёты основаны на чистой геометрии и одинаковы в любой стране.
Как пользоваться калькулятором
Введите длину стороны нижнего основания a, длину стороны верхнего основания b (укажите 0 для полной пирамиды или \(b = a\) для прямоугольного параллелепипеда) и высоту h. Все три значения должны быть в одной и той же единице измерения. Калькулятор вычислит объём, боковую площадь четырёх трапеций, полную площадь поверхности с учётом обоих квадратных оснований, а также апофему (наклонную высоту) боковой грани.
Разбор формул
Объём вычисляется по общему правилу для призматоидов и усечённых тел: \(V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)\). Для квадратных оснований \(A_1 = a^{2}\) и \(A_2 = b^{2}\), поэтому $$V = \frac{h}{3}\left(a^{2} + ab + b^{2}\right).$$ Каждая боковая грань — это трапеция с параллельными сторонами \(a\) и \(b\) и апофемой $$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}}.$$ Площадь одной трапеции равна \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\), а четыре такие грани дают боковую площадь \(S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell\). Прибавив площади обоих квадратных оснований, получаем полную площадь поверхности $$S = S_{\text{side}} + a^{2} + b^{2}.$$
Пример расчёта
Пусть \(a = 2\), \(b = 1\), \(h = 1\). Объём $$V = \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}33333.$$ Апофема $$\ell = \sqrt{1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118034.$$ Боковая площадь $$2(3)(1{,}118034) \approx 6{,}708204.$$ Полная площадь поверхности $$6{,}708204 + 4 + 1 \approx 11{,}708204.$$
Частые вопросы
А если сторона верхнего основания равна 0? Тогда фигура превращается в полную квадратную пирамиду: \(V = \frac{h\cdot a^{2}}{3}\) и \(S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\).
Что будет, если a равно b? Получится прямоугольный параллелепипед (квадратная призма): \(\ell = h\), \(V = a^{2}h\) и \(S = 4ah + 2a^{2}\).
Нужно ли выбирать единицы измерения? Нет. Используйте любую единицу длины — главное, одну и ту же для всех величин. Результат будет в этой единице в кубе (объём) и в квадрате (площади).
