Что считает калькулятор
Этот инструмент находит объём, площадь боковой поверхности (суммарную площадь четырёх треугольных граней) и полную площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды. У такой пирамиды квадратное основание, а вершина расположена строго над центром этого основания. Понадобятся всего две величины: длина ребра основания a и высота h, проведённая перпендикулярно к основанию.
Как пользоваться
Введите длину ребра основания и высоту в одних и тех же единицах длины (например, обе в сантиметрах или обе в дюймах). Результаты получатся в этих же единицах: объём — в кубических единицах (ед.³), а обе площади — в квадратных единицах (ед.²). Чтобы пирамида существовала, оба значения должны быть больше нуля.
Разбор формул
Объём равен площади основания, умноженной на высоту и делённой на три: $$V = \frac{1}{3}\,a^{2}\,h$$ Чтобы найти площадь боковой грани, сначала нужна апофема — высота треугольной грани, проведённая от середины ребра основания к вершине: $$l = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$ Площадь каждой из четырёх треугольных граней равна \(\frac{1}{2} a l\), поэтому площадь боковой поверхности составляет $$S_{\text{бок}} = 2 a l$$ Добавив площадь квадратного основания, получаем полную площадь поверхности $$S = a^{2} + 2 a l$$ Обратите внимание: в формуле используется именно апофема грани, а не более длинное боковое ребро.
Пример расчёта
Пусть ребро основания \(a = 230{,}4\), а высота \(h = 146{,}6\). Тогда \(a^{2} = 53084{,}16\), значит $$V = \frac{1}{3} \times 53084{,}16 \times 146{,}6 \approx 2\,594\,045{,}95 \text{ ед.}^{3}$$ Апофема грани равна $$l = \sqrt{146{,}6^{2} + 115{,}2^{2}} = \sqrt{34762{,}6} \approx 186{,}4474$$ Площадь боковой поверхности равна $$2 \times 230{,}4 \times 186{,}4474 \approx 85\,914{,}96 \text{ ед.}^{2}$$ а полная площадь поверхности — $$53084{,}16 + 85914{,}96 \approx 138\,999{,}12 \text{ ед.}^{2}$$
Частые вопросы
Подойдёт ли калькулятор для наклонной пирамиды? Формула объёма \(V = \frac{1}{3} a^{2} h\) верна для любой пирамиды с тем же основанием и той же высотой, но формула боковой поверхности предполагает именно правильную пирамиду с вершиной над центром основания.
Чем апофема отличается от бокового ребра? Апофема грани равна \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\) — именно она используется здесь. Боковое ребро идёт от угла основания к вершине и равно \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\); не путайте эти две величины.
В каких единицах вводить данные? Подойдёт любая единица длины, главное — чтобы обе величины были в одной и той же. Результаты автоматически получатся в этой единице, в её квадрате и в её кубе.
