정사각뿔의 부피, 옆넓이 및 겉넓이

계산 입력

밑변 모서리 길이 a

높이 h

Enter both values in the same length unit. Results are in that unit (volume in unit³, areas in unit²).

공식

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height from height and half the base edge

2. Lateral Area

   

   L = 2 times base edge times slant height; l is the slant height shown above

3. Total Surface Area

   

   Surface area = base area (a squared) plus lateral area

결과

부피 V

2,594,045.95

cubic units (unit³)

옆넓이(측면 넓이) S_side	85,914.92 unit²
전체 겉넓이 S	138,999.08 unit²
모선 l (면의 아포템)	186.4473 unit
Base area a²	53,084.16 unit²

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 정사각뿔의 부피, 옆넓이(네 개의 삼각형 측면 넓이의 합), 그리고 전체 겉넓이를 한 번에 구해 줍니다. 정사각뿔이란 밑면이 정사각형이고, 꼭짓점이 밑면 중심 바로 위에 놓인 입체를 말합니다. 필요한 값은 단 두 가지, 밑변 모서리 길이 a와 수직 높이 h뿐입니다.

밑변 a와 수직 높이 h로 정의되는 정사각뿔.

사용 방법

밑변 모서리 길이와 높이를 같은 길이 단위로 입력하세요(둘 다 센티미터, 둘 다 인치 등). 결과도 같은 단위를 따릅니다. 부피는 세제곱 단위(unit³), 두 가지 넓이는 제곱 단위(unit²)로 표시됩니다. 실제로 존재하는 뿔이 되려면 두 값 모두 0보다 커야 합니다.

공식 설명

부피는 밑면 넓이에 높이를 곱한 뒤 3으로 나눈 값입니다: $$V = \frac{1}{3}\,a^{2}\,h$$ 옆넓이를 구하려면 먼저 모선(빗변 높이)이 필요합니다. 모선은 밑변 모서리의 중점에서 꼭짓점까지 잰 삼각형 면의 높이(아포템)로, $$l = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$로 구합니다. 삼각형 면 하나의 넓이는 \(\frac{1}{2} a l\)이며, 면이 모두 네 개이므로 옆넓이는 \(S_{\text{side}} = 2 a l\)이 됩니다. 여기에 정사각형 밑면을 더하면 전체 겉넓이 \(S = a^{2} + 2 a l\)이 나옵니다. 모선은 더 긴 모서리(능선)가 아니라 면의 아포템을 사용한다는 점에 유의하세요.

빗면 높이는 h와 a/2로 이루어진 직각삼각형의 빗변입니다.

계산 예시

밑변 모서리 \(a = 230.4\), 높이 \(h = 146.6\)인 경우를 살펴보겠습니다. \(a^{2} = 53084.16\)이므로 $$V = \frac{1}{3} \times 53084.16 \times 146.6 \approx 2{,}594{,}045.95 \text{ unit}^{3}$$입니다. 모선은 $$l = \sqrt{146.6^{2} + 115.2^{2}} = \sqrt{34762.6} \approx 186.4474$$이고, 옆넓이는 \(2 \times 230.4 \times 186.4474 \approx 85{,}914.96 \text{ unit}^{2}\), 전체 겉넓이는 \(53084.16 + 85914.96 \approx 138{,}999.12 \text{ unit}^{2}\)가 됩니다.

자주 묻는 질문

빗각뿔(경사진 뿔)에도 적용되나요? 부피 공식 \(V = \frac{1}{3} a^{2} h\)는 밑면과 높이가 같은 모든 뿔에 적용됩니다. 하지만 옆넓이 공식은 꼭짓점이 밑면 중심 바로 위에 있는 정사각뿔을 전제로 합니다.

모선과 모서리(능선)의 차이는 무엇인가요? 모선(면의 아포템)은 \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\)로, 이 계산기에서 사용하는 값입니다. 능선은 밑면 꼭짓점에서 꼭대기까지 이어지는 변으로, \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\)와 같습니다. 두 값을 혼동하지 마세요.

어떤 단위를 써야 하나요? 두 입력값이 같은 단위를 공유하기만 하면 어떤 길이 단위든 사용할 수 있습니다. 그러면 결과는 자동으로 해당 단위, 그 제곱, 그 세제곱으로 표시됩니다.