حجم الهرم الرباعي القائم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية

أدخل الحساب

طول ضلع القاعدة a

الارتفاع h

Enter both values in the same length unit. Results are in that unit (volume in unit³, areas in unit²).

صيغة رياضية

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height from height and half the base edge

2. Lateral Area

   

   L = 2 times base edge times slant height; l is the slant height shown above

3. Total Surface Area

   

   Surface area = base area (a squared) plus lateral area

نتائج

الحجم V

٢٬٥٩٤٬٠٤٥٫٩٥

cubic units (unit³)

المساحة الجانبية (مساحة الأوجه) S_side	٨٥٬٩١٤٫٩٢ unit²
المساحة الكلية S	١٣٨٬٩٩٩٫٠٨ unit²
الارتفاع المائل l (ارتفاع الوجه)	١٨٦٫٤٤٧٣ unit
Base area a²	٥٣٬٠٨٤٫١٦ unit²

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة الحجم والمساحة الجانبية (أي مساحة الأوجه المثلثية الأربعة) والمساحة الكلية للهرم الرباعي القائم. الهرم الرباعي القائم له قاعدة مربعة ورأس يقع تمامًا فوق مركز هذه القاعدة. وكل ما تحتاجه قياسان فقط: طول ضلع القاعدة a والارتفاع العمودي h.

هرم قائم ذو قاعدة مربعة محدد بحرف قاعدته a وارتفاعه العمودي h.

كيفية الاستخدام

أدخل طول ضلع القاعدة والارتفاع باستخدام وحدة الطول نفسها (كلاهما بالسنتيمتر، أو كلاهما بالبوصة، وهكذا). وتتبع النتائج هذه الوحدة: فالحجم يُقاس بالوحدات المكعّبة (وحدة³)، أما المساحتان فتُقاسان بالوحدات المربّعة (وحدة²). ويجب أن تكون القيمتان أكبر من الصفر حتى نحصل على هرم حقيقي.

شرح المعادلات

الحجم يساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع ومقسومة على ثلاثة: $$V = \frac{1}{3}\,a^{2}\,h$$ ولإيجاد المساحة الجانبية نحتاج أولًا إلى الارتفاع المائل، وهو ارتفاع الوجه المثلثي مقيسًا من منتصف ضلع القاعدة حتى الرأس: $$l = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$ مساحة كل وجه مثلثي تساوي \(\frac{1}{2} a l\)، وعددها أربعة، فتكون المساحة الجانبية $$S_{\text{side}} = 2 a l$$ وبإضافة القاعدة المربعة نحصل على المساحة الكلية $$S = a^{2} + 2 a l$$ لاحظ أن الارتفاع المائل يعتمد على ارتفاع الوجه، وليس على الحرف الجانبي الأطول.

الارتفاع الجانبي هو وتر مثلث قائم الزاوية مكوّن من h و a/2.

مثال محلول

لنفترض أن ضلع القاعدة \(a = 230.4\) والارتفاع \(h = 146.6\): فيكون \(a^{2} = 53084.16\)، ومن ثم $$V = \frac{1}{3} \times 53084.16 \times 146.6 \approx 2{,}594{,}045.95 \text{ وحدة}^{3}$$ أما الارتفاع المائل فهو $$l = \sqrt{146.6^{2} + 115.2^{2}} = \sqrt{34762.6} \approx 186.4474$$ والمساحة الجانبية تساوي \(2 \times 230.4 \times 186.4474 \approx 85{,}914.96\) وحدة²، والمساحة الكلية تساوي \(53084.16 + 85914.96 \approx 138{,}999.12\) وحدة².

الأسئلة الشائعة

هل تصلح هذه الحاسبة للهرم المائل؟ معادلة الحجم \(V = \frac{1}{3} a^{2} h\) صحيحة لأي هرم له القاعدة والارتفاع نفسهما، لكن معادلة المساحة الجانبية تفترض هرمًا قائمًا يقع رأسه فوق المركز.

ما الفرق بين الارتفاع المائل والحرف الجانبي؟ الارتفاع المائل (ارتفاع الوجه) هو \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\) وهو المستخدَم هنا. أما الحرف الجانبي فيمتد من زاوية القاعدة إلى الرأس ويساوي \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\)؛ فلا تخلط بينهما.

أي وحدة ينبغي أن أستخدم؟ أي وحدة طول واحدة تفي بالغرض ما دام الإدخالان يتشاركانها؛ وعندئذ تأتي النتائج تلقائيًا بهذه الوحدة ومربّعها ومكعّبها.