Калькулятор правильной четырёхугольной пирамиды

Введите расчет

Сторона основания (a)

Высота (h)

Результатов

Объём

48

кубических единиц

Полная площадь поверхности	96 square units
Апофема	5
Площадь основания	36 square units
Площадь боковой поверхности	60 square units

Что такое правильная четырёхугольная пирамида?

Правильная четырёхугольная пирамида — это объёмное тело с квадратным основанием и четырьмя треугольными гранями, сходящимися в одной вершине над центром основания. Это одна из самых узнаваемых форм пирамид: например, знаменитые пирамиды Гизы имеют именно квадратное основание. Наш калькулятор находит объём, полную площадь поверхности, апофему (наклонную высоту), площадь основания и площадь боковой поверхности всего по двум величинам — длине стороны основания и высоте.

Основные размеры квадратной пирамиды: сторона основания a, высота h и апофема l.

Как пользоваться калькулятором

Введите длину стороны основания (a) — сторону квадрата в основании — и высоту (h), измеренную вертикально от центра основания до вершины. Калькулятор сразу выдаст все ключевые характеристики. Следите, чтобы обе величины были в одних и тех же единицах (см, м, дюймы, футы): результаты будут в этих же единицах — квадратных для площадей и кубических для объёма.

Разбор формул

Объём равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$ Чтобы найти площадь поверхности, сначала нужна апофема — расстояние от середины стороны основания до вершины вдоль треугольной грани. Её находим по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}$$ Каждая из четырёх треугольных граней имеет площадь \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot l\), поэтому площадь боковой поверхности равна \(2 \cdot a \cdot l\). Прибавив площадь квадратного основания \(a^2\), получаем полную площадь поверхности: $$SA = a^2 + 2a \cdot l$$

Развёртка поверхности пирамиды — квадратное основание и четыре треугольные грани образуют площадь поверхности.

Пример расчёта

Пусть \(a = 6\), \(h = 4\). Объём $$V = \frac{1}{3}(36)(4) = 48$$ кубических единиц. Апофема $$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$ Площадь боковой поверхности \(= 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\). Площадь основания \(= 36\). Полная площадь поверхности \(= 36 + 60 = 96\) квадратных единиц.

Частые вопросы

Чем высота отличается от апофемы? Высота (h) — это вертикальное расстояние от основания до вершины, а апофема (l) идёт по поверхности треугольной грани. Их связывает формула \(l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}\).

Подходит ли калькулятор для любой пирамиды? Нет. Эти формулы верны для правильной четырёхугольной пирамиды (квадратное основание, вершина строго над центром). Для пирамид с прямоугольным основанием или наклонных нужны другие формулы.

В каких единицах считает калькулятор? В любых, главное — единых. Если вы вводите метры, объём будет в кубических метрах, а площади — в квадратных.