Что такое полый цилиндр?
Полый цилиндр — его также называют цилиндрической трубой, трубкой или кольцевым цилиндром — это цилиндр с внешним радиусом \(R\), через который соосно просверлено сквозное отверстие с внутренним радиусом \(r\); высота (длина) фигуры равна \(h\). Два его торца представляют собой плоские кольца (по-научному — круговые кольца, или анулюсы). Этот калькулятор находит объём, боковую площадь поверхности и полную площадь поверхности.
Как пользоваться калькулятором
Введите внешний радиус \(R\), внутренний радиус \(r\) и высоту \(h\). Все три величины должны быть указаны в одной и той же единице длины (всё в мм, всё в см, всё в дюймах и т. д.). Тогда объём будет выражен в этой единице в кубе, а площади — в этой единице в квадрате. Калькулятор требует, чтобы выполнялось условие \(R > r \ge 0\) и \(h > 0\); если \(r = 0\), фигура превращается в сплошной цилиндр, и формулы по-прежнему работают.
Разбор формул
Сечение представляет собой кольцо площадью \(\pi(R^{2} - r^{2})\), поэтому объём равен $$V = \pi \left( R^{2} - r^{2} \right) h$$ Боковая площадь поверхности учитывает обе цилиндрические стенки: внешнюю \(2\pi R h\) и внутреннюю \(2\pi r h\), что в сумме даёт $$S_{\text{бок}} = 2\pi \, h \left( R + r \right)$$ Полная площадь поверхности добавляет к этому два плоских торцевых кольца, каждое площадью \(\pi(R^{2} - r^{2})\): $$S_{\text{полн}} = 2\pi \, h \left( R + r \right) + 2\pi \left( R^{2} - r^{2} \right)$$
Пример расчёта
Пусть \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 10\): тогда \(R^{2} - r^{2} = 25 - 9 = 16\). Объём $$= \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 502{,}65$$ Боковая площадь $$= 2\pi \times 10 \times 8 = 160\pi \approx 502{,}65$$ Два торцевых кольца $$= 2\pi \times 16 = 32\pi \approx 100{,}53$$ Полная площадь поверхности $$= 160\pi + 32\pi = 192\pi \approx 603{,}19$$
Частые вопросы
Что будет, если внутренний радиус равен нулю? Тогда отверстия нет, и фигура становится сплошным цилиндром: \(V = \pi R^{2} h\), \(S_{\text{бок}} = 2\pi R h\), \(S_{\text{полн}} = 2\pi R h + 2\pi R^{2}\). Общие формулы при этом сводятся именно к этим выражениям.
Почему внешний радиус должен быть больше внутреннего? Если \(R \le r\), то стенка не имеет толщины (или толщина отрицательная), а такой трубы в реальности не существует, поэтому такой ввод не принимается.
В каких единицах получится результат? В тех же единицах длины, что вы ввели. Если вы вводите сантиметры, объём будет в см³, а площади — в см². Главное — указывать все три величины в одной единице.
