Kare frustum nedir?
Kare frustum, yani kesik kare piramit, düzgün bir kare piramidin tepesini tabana paralel bir düzlemle kestiğinizde geriye kalan cisimdir. Kenar uzunluğu a olan bir kare alt tabanı, tam üzerinde ve ona paralel duran kenar uzunluğu b olan daha küçük bir kare üst tabanı, iki taban arasındaki dik yükseklik h ve dört adet eş ikizkenar yamuk yan yüzü vardır. Bu hesaplayıcı tek ve tutarlı bir uzunluk birimiyle çalışır; dolayısıyla hacim o birimin küpü, alanlar ise karesi cinsinden çıkar. Hesaplamalar saf geometriye dayanır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Alt kenar uzunluğu a, üst kenar uzunluğu b (tam piramit için 0, kutu için b = a girin) ve yükseklik h değerlerini yazın. Üçünün de aynı birimde olması gerekir. Araç; hacmi, dört yamuğun oluşturduğu yan (kenar) yüzey alanını, her iki kare tabanı da içeren toplam yüzey alanını ve bir yan yüzün eğik yüksekliğini döndürür.
Formüllerin açıklaması
Hacim, genel prizmatoid/frustum kuralını kullanır: \(V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)\). Kare tabanlar için \(A_1 = a^2\) ve \(A_2 = b^2\) olduğundan
$$V = \frac{\text{Yükseklik } h}{3}\left(\text{Alt } a^{2} + \text{Alt } a\cdot\text{Üst } b + \text{Üst } b^{2}\right)$$elde edilir. Her yan yüz; paralel kenarları a ve b olan ve eğik yüksekliği
$$\ell = \sqrt{\text{Yükseklik } h^{2} + \left(\frac{\text{Alt } a - \text{Üst } b}{2}\right)^{2}}$$olan bir yamuktur. Bir yamuğun alanı \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\) olup, dördü birden yan alanı
$$S_{\text{yan}} = 2\left(\text{Alt } a + \text{Üst } b\right)\sqrt{\text{Yükseklik } h^{2} + \left(\frac{\text{Alt } a - \text{Üst } b}{2}\right)^{2}}$$verir. Her iki kare tabanı da eklediğinizde toplam yüzey alanı
$$S = 2\left(\text{Alt } a + \text{Üst } b\right)\sqrt{\text{Yükseklik } h^{2} + \left(\frac{\text{Alt } a - \text{Üst } b}{2}\right)^{2}} + \text{Alt } a^{2} + \text{Üst } b^{2}$$bulunur.
Çözümlü örnek
\(a = 2\), \(b = 1\), \(h = 1\) alalım. Hacim:
$$V = \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}33333$$Eğik yükseklik:
$$\ell = \sqrt{1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118034$$Yan alan:
$$S_{\text{yan}} = 2(3)(1{,}118034) \approx 6{,}708204$$Toplam yüzey alanı:
$$S = 6{,}708204 + 4 + 1 \approx 11{,}708204$$Sık sorulan sorular
Üst kenar 0 olursa ne olur? Frustum tam bir kare piramide dönüşür: \(V = \frac{h\cdot a^{2}}{3}\) ve \(S_{\text{yan}} = 2a\cdot\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\).
a ile b eşitse ne olur? Şekil bir dikdörtgenler prizmasına (kare prizma) dönüşür: \(\ell = h\), \(V = a^{2}h\) ve \(S = 4ah + 2a^{2}\).
Birim seçmem gerekir mi? Hayır. Tek bir uzunluk birimini tutarlı biçimde kullanmanız yeterli; sonuç o birimin küpü (hacim) ve karesi (alanlar) cinsinden olur.
