정적분 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 정적분 \(\int_a^b f(x)\,dx\), 즉 어떤 구간에서 곡선과 x축 사이의 부호 있는 넓이를 계산합니다. 모든 함수가 깔끔한 원시함수(부정적분)를 갖는 것은 아니기 때문에, 이 계산기는 매끄러운 함수에 대해 매우 정확한 결과를 주는 견고한 수치 해석 방법(합성 심프슨 공식)을 사용합니다. 미리 준비된 함수를 고르고, 아래끝과 위끝을 입력한 뒤, 구간을 몇 개로 나눌지 정하면 넓이를 바로 읽어낼 수 있습니다.
사용 방법
목록에서 함수 \(f(x)\)를 하나 선택하세요. 아래끝 \(a\)와 위끝 \(b\)를 입력합니다. 부분 구간의 개수 \(n\)을 설정하세요(개수가 많을수록 정확도가 높아집니다. 심프슨 공식의 요구 조건에 맞춰 \(n\)은 자동으로 가장 가까운 짝수로 올림됩니다). 입력 후 실행하면 적분의 근삿값과 함께 사용된 간격 크기를 확인할 수 있습니다.
공식
합성 심프슨 공식은 \([a,b]\)를 너비가 \(h=\tfrac{b-a}{n}\)인 \(n\)개의 동일한 조각으로 나누고, 표본점에 1, 4, 2, 4, …, 4, 1의 가중치를 부여합니다.
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$여기서 \(x_i = a + i\,h\), \(h=\frac{b-a}{n}\)이며, \(n\)은 짝수입니다.
계산 예시
\(n=2\)로 \(\int_0^2 x^2\,dx\)를 계산해 봅시다. 이때 \(h=\frac{2-0}{2}=1\)이고, 표본점은 \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\)입니다.
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$이는 정확한 답 \(\tfrac{8}{3}\)과 일치합니다. 심프슨 공식은 3차 이하의 다항식에 대해 오차 없이 정확합니다.
지원되는 함수의 정확한 적분
계산기는 각 적분을 수치적으로 근사하지만, 지원되는 모든 함수는 \(F'(x)=f(x)\)를 만족하는 알려진 닫힌 형태의 부정적분 \(F(x)\)를 갖고 있습니다. 미적분학의 기본정리에 의해 정확한 값은 \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)입니다. 아래 표를 사용하여 수치 답변을 확인하거나 함수가 정의되지 않는 위치를 파악하세요.
| 메뉴 값 | \(f(x)\) | 부정적분 \(F(x)\) | 정의역 제한 |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | 모든 실수 \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | 모든 실수 \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\); 구간이 0을 지나거나 닿으면 안 됨 |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | 모든 실수 \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | 모든 실수 \(x\) (라디안) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | 모든 실수 \(x\) (라디안) |
검증 예로서, \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333입니다. \(x^2\)는 2차 다항식이므로 심프슨 공식은 최소값 \(n=2\)에서도 이 값을 정확히 반환합니다.
주요 용어
- 정적분 — 양 \(\int_a^b f(x)\,dx\), 한계값 \(a\)와 \(b\) 사이에서 \(f\)의 순 (부호 있는) 누적을 나타내는 단일 숫자입니다.
- 부호 있는 넓이 — 적분의 값은 \(x\)축 위의 넓이를 양수로, 아래의 넓이를 음수로 계산하므로 영역이 상쇄될 수 있으며, 결과는 반드시 전체 기하학적 넓이가 아닙니다.
- 소구간 — \([a,b]\)를 \(n\)개의 동일한 부분으로 나눈 것 중 하나이며, 심프슨 공식은 연속된 소구간 쌍에 걸쳐 포물선을 맞춥니다.
- 단계 크기 \(h\) — 각 소구간의 공통 너비, \(h=\dfrac{b-a}{n}\); 작은 \(h\)는 일반적으로 더 정확한 근사를 제공합니다.
- 샘플 지점 \(x_i\) — \(i = 0,1,\ldots,n\)에 대해 \(x_i = a + i\,h\)인 \(n+1\)개의 균등한 간격의 노드이며, 여기서 함수가 평가됩니다.
- 짝수 \(n\) 요구사항 — 심프슨 공식은 소구간을 포물선 호로 쌍으로 만들므로 소구간의 개수 \(n\)은 짝수여야 하며, 가중치 패턴은 \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\)입니다.
- 부정적분 — \(F'(x)=f(x)\)를 만족하는 함수 \(F(x)\)이며, 하나를 알면 정확한 적분은 \(F(b)-F(a)\)이고, 수치 추정은 이를 근사합니다.
자주 묻는 질문
어떤 함수를 지원하나요? 엄선된 함수 집합인 \(x^2\), \(x^3\), \(1/x\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\), \(\cos x\)를 지원합니다. 삼각함수는 라디안 단위를 사용합니다.
왜 \(n\)은 짝수여야 하나요? 심프슨 공식은 부분 구간을 두 개씩 짝지어 포물선 호로 근사하므로 짝수 개의 구간이 필요합니다. 홀수를 입력하면 도구가 1을 더해 올림 처리합니다.
결과가 정확한가요? 3차 이하의 다항식이라면 사실상 정확합니다. 다른 함수의 경우에는 매우 근접한 수치 근삿값이며, \(n\)이 커질수록 정확도가 높아집니다.
