ما هي حاسبة المثلث بطريقة SAS؟
الاختصار SAS يرمز إلى "ضلع–زاوية–ضلع" (Side-Angle-Side)، وهي حالة من حالات المثلث تعرف فيها طولَي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما (الزاوية المحصورة). تكمّل هذه الحاسبة بقية معطيات المثلث: فتوجد الضلع الثالث، ومساحة المثلث، والزاويتين المتبقيتين، والمحيط. وبما أن الزاوية المحصورة تثبّت شكل المثلث تمامًا، فإن مثلث SAS له حل وحيد دائمًا.
طريقة الاستخدام
أدخل الضلع a، والضلع b، والزاوية المحصورة C (بالدرجات، بين 0 و180). يجب أن تقع الزاوية C بين الضلعين a وb. اضغط على زر الحساب لتحصل على الضلع المقابل c إلى جانب المساحة وبقية الزوايا.
شرح القانون
نحصل على الضلع الثالث من قانون جيب التمام: $$c = \sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} - 2\,\text{a}\,\text{b}\cos\!\left(\text{C}\right)}$$ وعندما تكون \(\text{C} = 90^{\circ}\)، فإن \(\cos \text{C} = 0\) ويختزل القانون إلى نظرية فيثاغورس. أما المساحة فتُحسب بصيغة مساحة SAS: $$\text{Area} = \tfrac{1}{2}\,\text{a}\,\text{b}\,\sin\!\left(\text{C}\right)$$ وبعد معرفة \(c\)، نستخرج الزاوية A من العلاقة \(\cos A = \frac{\text{b}^{2} + c^{2} - \text{a}^{2}}{2\,\text{b}\,c}\)، وتكون الزاوية B هي المتبقية بحيث يبلغ مجموع الزوايا \(180^{\circ}\).
مثال محلول
لنفترض أن \(\text{a} = 5\) وb = 7 وC = 60°. عندئذٍ $$c = \sqrt{25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cdot\cos 60^{\circ}} = \sqrt{74 - 70\cdot0.5} = \sqrt{39} \approx 6.245$$ والمساحة تساوي $$\tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sin 60^{\circ} = 17.5\cdot0.8660 \approx 15.155$$ وحدة مربعة. أما الزاوية A فتقارب \(43.9^{\circ}\) والزاوية B تقارب \(76.1^{\circ}\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت الزاوية تساوي 90° بالضبط؟ يتحول القانون إلى نظرية فيثاغورس: \(c = \sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2}}\).
هل يمكن أن تكون الزاوية 0 أو 180°؟ لا، فهاتان القيمتان تجعلان المثلث ينهار إلى خط مستقيم وتعطيان مساحة صفرية؛ لذا استخدم قيمًا تقع تمامًا بين 0 و180.
أي ضلع هو "c"؟ الضلع c هو دائمًا الضلع المقابل للزاوية التي أدخلتها (C)، أي الضلع غير المجاور لتلك الزاوية.
