ما هي صيغة مساحة المثلث بطريقة SAS؟
عندما تعرف ضلعين من المثلث والزاوية المحصورة بينهما — وهي الحالة المعروفة بـ "ضلع–زاوية–ضلع" أو SAS — يمكنك حساب المساحة مباشرة دون الحاجة إلى إيجاد الارتفاع أولًا. الصيغة هي \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\)، حيث يمثل a وb الضلعين المعلومين، وC الزاوية المحصورة بينهما. وهي أداة هندسية عامة تصلح لأي وحدة قياس (سنتيمتر، متر، بوصة)، بشرط أن يُقاس الضلعان بالوحدة نفسها.
$$A = \frac{1}{2} \cdot \text{Side }a \cdot \text{Side }b \cdot \sin\!\left(\text{Angle }C\right)$$
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل طولَي الضلعين a وb، ثم أدخل قيمة الزاوية المحصورة C بالدرجات (قيمة بين 0 و180). تقوم الحاسبة بتحويل الزاوية إلى الراديان داخليًا، ثم تُرجع المساحة بالوحدات المربعة. وبما أن قيمة \(\sin(C)\) تبلغ ذروتها عند 90°، فإن وجود زاوية قائمة بين الضلعين يعطي أكبر مساحة ممكنة لهذين الطولين.
شرح الصيغة
المساحة الاعتيادية للمثلث تساوي ½ × القاعدة × الارتفاع. فإذا اعتبرنا الضلع b هو القاعدة، فإن الارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس المقابل، والذي يساوي a·sin C. وبالتعويض نحصل على \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (a \cdot \sin C) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\).
مثال محلول
لنفترض أن a = 5 وb = 7 وC = 45°. عندئذٍ تكون \(\sin 45° \approx 0.7071\)، إذن $$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times 0.7071 = 17.5 \times 0.7071 \approx 12.374 \text{ وحدة مربعة}$$
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن تكون الزاوية بالدرجات؟ نعم، تقبل هذه الأداة الزاوية بالدرجات وتحوّلها تلقائيًا إلى الراديان.
ماذا لو كنت أعرف الأضلاع الثلاثة بدلًا من ذلك؟ استخدم صيغة هيرون في هذه الحالة — أما هذه الحاسبة فمخصصة تحديدًا لحالة الضلعين مع الزاوية المحصورة بينهما.
لماذا تكون المساحة أكبر عند 90°؟ لأن قيمة \(\sin(C)\) تبلغ أقصى قيمة لها وهي 1 عند 90°، فيصبح الضلعان متعامدين وتبلغ المساحة المحصورة حدها الأقصى.
