ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة مساحة المثلث ومحيطه وارتفاعه عندما تعرف ضلعين من أضلاعه والزاوية المحصورة بينهما (أي «الزاوية الداخلية» بين الضلعين). وهذه هي الحالة الكلاسيكية المعروفة بـ «ضلع–زاوية–ضلع» (SAS). فضلعان مع الزاوية المحصورة بينهما يحددان المثلث تحديدًا تامًّا، ومن ثَمَّ يمكن اشتقاق سائر القياسات منها. والحاسبة لا ترتبط بوحدة قياس بعينها: أدخل الضلعين بأي وحدة طول متّسقة، وتظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة، بينما يكون المحيط والارتفاع بالوحدة نفسها المستخدَمة للأضلاع.
كيفية الاستخدام
أدخل طول الضلع \(a\) وطول الضلع \(b\) (ويجب أن يكون كلاهما أكبر من الصفر)، ثم اكتب قيمة الزاوية المحصورة واختر ما إذا كانت معطاة بالدرجات أو بالراديان. وكي يكون المثلث حقيقيًّا غير منحلّ، يجب أن تقع الزاوية حصرًا بين 0 و180 درجة (أي بين 0 وπ راديان). اضغط على «احسب» لتظهر لك المساحة \(S\)، والمحيط الكامل \(L\)، والضلع الثالث \(c\)، والارتفاع \(h\) المنسوب إلى القاعدة \(a\).
شرح الصيغ الرياضية
تعتمد المساحة على قاعدة الجيب في حالة ضلع–زاوية–ضلع:
$$S = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\theta)$$ويُستخرج الضلع الثالث من قانون جيب التمام:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)}$$ويكون المحيط ببساطة \(L = a + b + c\). أما الارتفاع المُسقَط على القاعدة \(a\) فهو
$$h = b\cdot\sin(\theta)$$وهو ناتج عن العلاقة \(S = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot h\). وتُحوَّل الزاوية إلى الراديان قبل تطبيق أي دالة مثلثية؛ ففي حالة الدرجات تُضرب في \(\pi/180\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 4\) و\(b = 5\) و\(\theta = 30\) درجة: \(\sin(30^\circ) = 0.5\) و\(\cos(30^\circ) = 0.8660254\). تكون المساحة
$$S = 0.5 \times 4 \times 5 \times 0.5 = 5$$والضلع الثالث
$$c = \sqrt{16 + 25 - 34.641016} = \sqrt{6.358984} = 2.521703$$ومن ثَمَّ المحيط \(L = 4 + 5 + 2.521703 = 11.521703\). والارتفاع \(h = 5 \times 0.5 = 2.5\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون الزاوية أصغر من 180 درجة؟ عند القيمة 0 أو 180 درجة بالضبط ينهار المثلث ويتحول إلى خط مستقيم، فتصبح مساحته صفرًا. أما القيم الواقعة بينهما فتُنتج مثلثًا حقيقيًّا.
على أي قاعدة يُقاس الارتفاع؟ الارتفاع المعروض \(h = b\cdot\sin(\theta)\) هو الارتفاع المُسقَط على القاعدة \(a\). أما الارتفاع المُسقَط على القاعدة \(b\) فيكون \(a\cdot\sin(\theta)\).
هل يمكن أن يفشل حساب الجذر التربيعي؟ لا. فالمقدار \(a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)\) يساوي \(c^2\) وهو دائمًا غير سالب؛ وأي قيم سالبة صغيرة ناتجة عن أخطاء التقريب تُضبط لتصبح صفرًا.
