Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет площадь, периметр и высоту треугольника, когда известны две его стороны и угол между ними (тот самый «зажатый» между сторонами угол). Это классический случай «сторона — угол — сторона» (СУС). Две стороны и угол между ними полностью определяют треугольник, поэтому все остальные его параметры можно вывести из этих трёх величин. Калькулятор не привязан к конкретным единицам измерения: задавайте стороны в любой удобной единице длины — площадь получится в этой же единице в квадрате, а периметр и высота будут выражены в той же единице длины, что и стороны.
Как пользоваться
Введите длину стороны a и длину стороны b (обе должны быть больше нуля), затем укажите угол между ними и выберите, в чём он задан — в градусах или радианах. Чтобы получился настоящий, невырожденный треугольник, угол должен лежать строго между 0 и 180 градусами (между 0 и π радианами). Нажмите «Рассчитать», и вы увидите площадь S, полный периметр L, третью сторону c и высоту h, опущенную на основание a.
Разбираем формулы
Площадь находится по формуле для случая СУС через синус угла: $$S = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\theta)$$ Третья сторона вычисляется по теореме косинусов: $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)}$$ а периметр — это просто \(L = a + b + c\). Высота, опущенная на основание a, равна $$h = b\cdot\sin(\theta)$$ и следует из равенства \(S = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot h\). Перед применением тригонометрических функций угол всегда переводится в радианы; для градусов его умножают на \(\pi/180\).
Пример расчёта
Пусть \(a = 4\), \(b = 5\) и \(\theta = 30\) градусов: \(\sin(30°) = 0{,}5\), а \(\cos(30°) = 0{,}8660254\). Площадь $$S = 0{,}5 \times 4 \times 5 \times 0{,}5 = 5$$ Третья сторона $$c = \sqrt{16 + 25 - 34{,}641016} = \sqrt{6{,}358984} = 2{,}521703$$ поэтому периметр \(L = 4 + 5 + 2{,}521703 = 11{,}521703\). Высота \(h = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5\).
Частые вопросы
Почему угол должен быть меньше 180 градусов? При угле ровно 0 или 180 градусов треугольник «схлопывается» в отрезок, и его площадь равна нулю. Только промежуточные значения дают настоящий треугольник.
На какое основание опущена высота? В ответе высота \(h = b\cdot\sin(\theta)\) — это высота, опущенная на основание a. Высота, опущенная на основание b, была бы равна \(a\cdot\sin(\theta)\).
Может ли извлечение корня дать ошибку? Нет. Выражение \(a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)\) равно \(c^2\) и всегда неотрицательно; мизерные отрицательные значения, возникающие из-за погрешностей округления, приводятся к нулю.
