दो भुजाओं और बीच के कोण से त्रिभुज का क्षेत्रफल

गणना दर्ज करें

भुजा a की लंबाई

भुजा b की लंबाई

Included angle θ (between the two sides)

कोण की इकाई Degrees Radians

परिणाम

क्षेत्रफल S

5

square units (length unit²)

परिमाप L	11.521703 units
तीसरी भुजा c	2.521703 units
ऊँचाई h (आधार a)	2.5 units

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल, परिमाप और ऊँचाई तब निकालता है जब आपको उसकी दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (यानी "अंतर्गत कोण") पता हो। यह गणित का प्रसिद्ध SAS — भुजा-कोण-भुजा — विन्यास है। दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण मिलकर पूरे त्रिभुज को निर्धारित कर देते हैं, इसलिए बाकी सभी माप इन्हीं से निकाले जा सकते हैं। यह कैलकुलेटर किसी भी इकाई में काम करता है: भुजाओं को किसी एक ही लंबाई-इकाई में डालिए, क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आएगा, जबकि परिमाप और ऊँचाई वही भुजा-इकाई इस्तेमाल करेंगे।

इसका उपयोग कैसे करें

भुजा a और भुजा b की लंबाई दर्ज करें (दोनों शून्य से बड़ी होनी चाहिए), फिर बीच का कोण लिखें और चुनें कि वह डिग्री में दिया गया है या रेडियन में। एक वास्तविक, अपह्रासित (non-degenerate) त्रिभुज के लिए कोण ठीक 0 और 180 डिग्री के बीच (0 और π रेडियन के बीच) होना चाहिए। कैलकुलेट दबाते ही आपको क्षेत्रफल S, पूरा परिमाप L, तीसरी भुजा c, और भुजा a पर मापी गई ऊँचाई h दिखाई देगी।

सूत्रों की व्याख्या

क्षेत्रफल के लिए SAS का ज्या (sine) नियम काम आता है: $$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\theta)$$। तीसरी भुजा कोज्या नियम (law of cosines) से मिलती है, $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)}$$, और परिमाप तो बस \(L = a + b + c\) है। भुजा a पर डाली गई लंब-ऊँचाई $$h = b\cdot\sin(\theta)$$ होती है, जो \(S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h\) से निकलती है। त्रिकोणमिति लगाने से पहले कोण को रेडियन में बदला जाता है; डिग्री के लिए उसे \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा कर देते हैं।

ऊँचाई \(h = a\cdot\sin(\theta)\), इसलिए क्षेत्रफल \(S = \frac{1}{2}\cdot b\cdot h = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\theta)\)।

क्षेत्रफल दो भुजाओं a और b तथा उनके बीच के कोण theta पर निर्भर करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(a = 4\), \(b = 5\), और \(\theta = 30\) डिग्री: तब \(\sin(30°) = 0.5\) और \(\cos(30°) = 0.8660254\)। क्षेत्रफल $$S = 0.5 \times 4 \times 5 \times 0.5 = 5$$ तीसरी भुजा $$c = \sqrt{16 + 25 - 34.641016} = \sqrt{6.358984} = 2.521703$$ इसलिए परिमाप $$L = 4 + 5 + 2.521703 = 11.521703$$ ऊँचाई $$h = 5 \times 0.5 = 2.5$$

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

कोण 180 डिग्री से कम क्यों होना चाहिए? ठीक 0 या 180 डिग्री पर त्रिभुज सिमटकर एक सीधी रेखा बन जाता है और क्षेत्रफल शून्य हो जाता है। इनके बीच के मान ही असली त्रिभुज बनाते हैं।

ऊँचाई किस आधार के सापेक्ष मापी जाती है? दिखाई गई ऊँचाई \(h = b\cdot\sin(\theta)\) भुजा a पर डाली गई लंब-ऊँचाई है। भुजा b पर डाली गई ऊँचाई इसके बदले \(a\cdot\sin(\theta)\) होगी।

क्या वर्गमूल कभी विफल हो सकता है? नहीं। व्यंजक \(a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)\) दरअसल \(c^2\) के बराबर होता है, जो हमेशा ऋणेतर (non-negative) रहता है; गोलाई की वजह से आई बहुत छोटी ऋणात्मक त्रुटियों को शून्य कर दिया जाता है।