यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालता है, जब आपको उसके आधार की लंबाई और दोनों बराबर भुजाओं की लंबाई पता हो। इसके साथ ही यह त्रिभुज की ऊँचाई (आधार से शीर्ष तक नापी गई) और परिमाप भी बताता है — यानी सिर्फ़ दो माप देकर आपको पूरी आकृति की पूरी जानकारी मिल जाती है।
इसका उपयोग कैसे करें
आधार की लंबाई (b) और किसी एक बराबर भुजा की लंबाई (a) एक ही इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत क्षेत्रफल को वर्ग इकाई में, ऊँचाई को रैखिक इकाई में और परिमाप दिखा देगा। ध्यान रहे, दोनों बराबर भुजाओं में से हर एक आधार के आधे से बड़ी होनी चाहिए, वरना कोई वैध त्रिभुज बन ही नहीं सकता।
सूत्र की व्याख्या
समद्विबाहु त्रिभुज में दो बराबर भुजाएँ होती हैं जिनकी लंबाई a है और आधार की लंबाई b है। शीर्ष से आधार पर एक लंब (perpendicular) गिराने पर त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों में बँट जाता है, जिनमें से हर एक का कर्ण a और आधार b/2 होता है। इसलिए ऊँचाई होगी \(h = \sqrt{a^{2} - (b/2)^{2}} = \sqrt{4a^{2} - b^{2}}/2\)। क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है, जो सरल होकर बनता है:
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आधार 6 है और हर बराबर भुजा 5 है। तब \(4a^{2} - b^{2} = 4 \cdot 25 - 36 = 100 - 36 = 64\)। 64 का वर्गमूल 8 है। तो क्षेत्रफल $$A = \frac{6}{4} \cdot 8 = 1.5 \cdot 8 = 12 \text{ वर्ग इकाई}$$ ऊँचाई \(= 8/2 = 4\), और परिमाप \(= 6 + 2 \cdot 5 = 16\)।
विभिन्न समद्विबाहु त्रिभुजों में क्षेत्रफल
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार \(b\) और दो बराबर भुजाएँ \(a\) हैं। शीर्ष से आधार पर लंब गिराएं और यह त्रिभुज को दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक का कर्ण \(a\) और क्षैतिज भुजा \(b/2\) है। इसलिए ऊँचाई है
$$h = \sqrt{a^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}$$और क्षेत्रफल सीधे अनुसरण करता है:
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}, \qquad P = 2a + b.$$नीचे दी गई तालिका इन सटीक सूत्रों को कई आधार/भुजा जोड़ियों पर लागू करती है। प्रत्येक पंक्ति के लिए \(a > b/2\) आवश्यक है ताकि त्रिभुज वास्तव में बंद हो सके।
| आधार (b) | भुजा (a) | ऊँचाई (h) | क्षेत्रफल (A) | परिमाप (P) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 4 | 12 | 16 |
| 8 | 5 | 3 | 12 | 18 |
| 10 | 13 | 12 | 60 | 36 |
| 4 | 4 | ≈ 3.464 | ≈ 6.928 | 12 |
अंतिम पंक्ति (b=4, a=4) समबाहु भी है, इसलिए इसकी ऊँचाई \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 \approx 3.464\) के बराबर है और इसका क्षेत्रफल लगभग 6.928 के समबाहु मान से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर भुजा बहुत छोटी हो तो क्या होगा? अगर \(4a^{2} - b^{2}\) शून्य या ऋणात्मक निकलता है, तो दोनों भुजाएँ आधार के ऊपर मिल नहीं सकतीं, इसलिए कोई त्रिभुज नहीं बनता और क्षेत्रफल 0 बताया जाता है।
बराबर भुजा के रूप में कौन-सी भुजा दर्ज करूँ? दोनों एक जैसी भुजाओं में से किसी एक की लंबाई दर्ज करें। समद्विबाहु त्रिभुज में दोनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।
नतीजा किस इकाई में आता है? क्षेत्रफल आपकी दर्ज की गई इकाई के वर्ग में आता है, और ऊँचाई व परिमाप उन्हीं रैखिक इकाइयों में आते हैं।
