यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल उस लंब वृत्तीय शंकु की ज्यामिति निकालता है जिसे किसी झुके हुए तल से काटा गया हो। यह तल शंकु के केंद्रीय अक्ष पर स्थित एक बिंदु के चारों ओर घूमता है, इसलिए यह शंकु को तिरछा काटता है: एक तरफ ऊपर उठती है और दूसरी तरफ नीचे की ओर झुकती है। हम जिस ठोस हिस्से को रखते हैं वह नीचे का भाग है, जो नीचे की ओर वृत्ताकार आधार से और ऊपर की ओर झुकी हुई दीर्घवृत्तीय कटी सतह से घिरा होता है। यह तीन राशियाँ देता है: बचा हुआ आयतन \(V\), तिरछी कटी सतह का क्षेत्रफल \(S_u\), और आधार क्षेत्रफल \(S_B\)। यह पूरी तरह से शुद्ध ठोस ज्यामिति है, इसलिए यह दुनिया में कहीं भी एक समान रूप से लागू होती है और किसी भी एक एकसमान लंबाई इकाई का उपयोग करती है।
इसका उपयोग कैसे करें
शंकु की ऊँचाई \(H\), आधार त्रिज्या \(R\), उस स्तर पर क्षैतिज परिच्छेद की त्रिज्या \(r\) (जहाँ कटान तल अक्ष को पार करता है), और कटान कोण \(\theta\) (डिग्री में) दर्ज करें। तीनों लंबाइयों के लिए एक ही एकसमान इकाई का उपयोग करें; आयतन उसी इकाई के घन में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में निकलते हैं। कटान कोण \(0 \le \theta < 90\) डिग्री के बीच होना चाहिए, \(R\) धनात्मक होना चाहिए, और \(r\) का मान \(0\) और \(R\) के बीच होना चाहिए।
सूत्र की व्याख्या
आधार क्षेत्रफल बस \(S_B = \pi R^2\) होता है। तिरछी कटान एक दीर्घवृत्त है जिसका क्षैतिज प्रक्षेपण \(r\) त्रिज्या वाला वृत्त है; \(\theta\) कोण से झुकाने पर क्षेत्रफल \(1/\cos\theta\) के अनुपात में फैल जाता है, इसलिए \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\)। आयतन को एक छिन्नक (frustum) के रूप में बनाया जाता है (आधार त्रिज्या \(R\) से धुरी त्रिज्या \(r\) तक, \(h_p = H(R-r)/R\) की ऊर्ध्वाधर वृद्धि पर) और इसमें एक तिरछा पच्चर पद \(\frac{2}{3}r^3\tan\theta\) जोड़ा जाता है जो झुकाव को ध्यान में रखता है:
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15°\): \(\cos 15° = 0.9659258\), \(\tan 15° = 0.2679492\)। आधार क्षेत्रफल \(= \pi \cdot 64 = 201.062\)। कटान क्षेत्रफल \(= \pi \cdot 9 / 0.9659258 = 29.2738\)। \(h_p = 5 \cdot (8-3)/8 = 3.125\), छिन्नक \(= (\pi \cdot 3.125 / 3) \cdot (64+24+9) = 317.432\), पच्चर \(= 0.6667 \cdot 27 \cdot 0.2679492 = 4.823\)। आयतन \(V \approx 322.255\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\theta = 0\) पर क्या होता है? कटान क्षैतिज हो जाती है: \(S_u = \pi r^2\) और पच्चर पद शून्य हो जाता है, जिससे केवल छिन्नक का आयतन बचता है।
\(\theta\) को 90 डिग्री से कम क्यों रहना चाहिए? जैसे-जैसे \(\theta\) \(90°\) के पास पहुँचता है, \(\cos\theta\) शून्य की ओर बढ़ता है और तिरछी कटी सतह का क्षेत्रफल अनंत तक बढ़ जाता है, इसलिए यह विन्यास अमान्य हो जाता है।
उत्तर किस इकाई में आता है? जिस भी इकाई में आप लंबाइयाँ डालते हैं उसी में। अगर \(H\), \(R\) और \(r\) सेंटीमीटर में हैं, तो आयतन घन सेंटीमीटर में और क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में होंगे।
