Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, eğik bir düzlemle kesilmiş bir dik dairesel koninin geometrisini hesaplar. Kesen düzlem, koninin merkez ekseni üzerindeki bir nokta etrafında döner; böylece koniyi eğik olarak keser: bir taraf yükselirken karşı taraf alçalır. Elimizde tuttuğumuz katı cisim, alttan dairesel tabanla, üstten ise eğimli elips şeklindeki bir kesit yüzeyiyle sınırlanan alt parçadır. Hesaplayıcı üç değer döndürür: tutulan hacim \(V\), eğik kesit alanı \(S_u\) ve taban alanı \(S_B\). Her şey saf katı geometriye dayandığından sonuçlar her yerde aynı şekilde geçerlidir ve tek bir tutarlı uzunluk birimiyle çalışır.
Nasıl kullanılır?
Koni yüksekliği \(H\)'yi, taban yarıçapı \(R\)'yi, kesen düzlemin ekseni geçtiği seviyedeki yatay kesitin yarıçapı \(r\)'yi ve derece cinsinden kesim açısı \(\theta\)'yı girin. Üç uzunluk için de tek ve tutarlı bir birim kullanın; hacim bu birimin küpü, alanlar ise bu birimin karesi cinsinden çıkar. Kesim açısı \(0 \le \theta < 90\) derece koşulunu sağlamalı, \(R\) pozitif olmalı ve \(r\) değeri \(0\) ile \(R\) arasında yer almalıdır.
Formülün açıklaması
Taban alanı basitçe \(S_B = \pi R^2\) şeklindedir. Eğik kesit, yatay izdüşümü \(r\) yarıçaplı çember olan bir elipstir; \(\theta\) kadar eğmek alanı \(1/\cos\theta\) oranında genişletir, dolayısıyla \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\) olur. Hacim ise bir kesik koni (taban yarıçapı \(R\)'den, \(h_p = H(R-r)/R\) düşey yükseklik boyunca dönme yarıçapı \(r\)'ye kadar) ile eğimi hesaba katan \((2/3)r^3\tan\theta\) eğik kama teriminin toplamı olarak oluşturulur:
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
Örnek hesaplama
\(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15^\circ\) değerleri için: \(\cos 15^\circ=0.9659258\), \(\tan 15^\circ=0.2679492\). Taban alanı \(= \pi\cdot 64 = 201.062\). Kesit alanı \(= \pi\cdot 9 / 0.9659258 = 29.2738\). \(h_p = 5\cdot(8-3)/8 = 3.125\), kesik koni \(= (\pi\cdot 3.125/3)\cdot(64+24+9) = 317.432\), kama \(= 0.6667\cdot 27\cdot 0.2679492 = 4.823\). Hacim \(V \approx 322.255\).
Sıkça Sorulan Sorular
\(\theta = 0\) olduğunda ne olur? Kesim yatay hale gelir: \(S_u = \pi r^2\) olur ve kama terimi sıfırlanır; geriye yalnızca kesik koni hacmi kalır.
\(\theta\) neden 90 dereceden küçük kalmak zorunda? \(\theta\) \(90^\circ\)'ye yaklaştıkça \(\cos\theta\) sıfıra yaklaşır ve eğik kesit alanı sonsuza ıraksar; bu nedenle böyle bir yapılandırma geçersizdir.
Sonuç hangi birimde çıkar? Uzunluklar için hangi birimi kullanırsanız o birimde. Eğer \(H\), \(R\) ve \(r\) santimetre cinsindense hacim santimetreküp, alanlar ise santimetrekare cinsinden olur.
