Que calcule cet outil ?
Ce calculateur détermine la géométrie d'un cône circulaire droit coupé par un plan incliné. Le plan pivote autour d'un point situé sur l'axe central du cône : il le tranche donc de biais, un côté remontant tandis que le côté opposé descend. Le solide conservé est la partie inférieure, délimitée en bas par la base circulaire et en haut par une section de coupe elliptique inclinée. L'outil renvoie trois grandeurs : le volume conservé \(V\), l'aire de la section oblique \(S_u\) et l'aire de base \(S_B\). Tout repose sur de la géométrie dans l'espace pure : les résultats sont valables partout et n'exigent qu'une seule unité de longueur, du moment qu'elle reste cohérente.
Mode d'emploi
Saisissez la hauteur \(H\) du cône, le rayon de base \(R\), le rayon \(r\) de la section horizontale au niveau où le plan de coupe traverse l'axe, ainsi que l'angle de coupe \(\theta\) en degrés. Utilisez une seule et même unité pour les trois longueurs : le volume s'exprime alors dans cette unité au cube et les aires dans cette unité au carré. L'angle de coupe doit vérifier \(0 \le \theta < 90\) degrés, \(R\) doit être strictement positif et \(r\) doit être compris entre \(0\) et \(R\).
La formule expliquée
L'aire de base vaut tout simplement \(S_B = \pi R^2\). La section oblique est une ellipse dont la projection horizontale est le cercle de rayon \(r\) ; l'inclinaison de \(\theta\) dilate cette aire d'un facteur \(1/\cos\theta\), d'où \(S_u = \pi r^2 / \cos\theta\). Le volume se compose d'un tronc de cône (du rayon de base \(R\) jusqu'au rayon de pivot \(r\) sur une élévation verticale \(h_p = H(R-r)/R\)), auquel s'ajoute un terme de coin oblique \(\frac{2}{3}r^3\tan\theta\) qui rend compte de l'inclinaison :
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan\theta$$
Exemple détaillé
Avec \(H=5\), \(R=8\), \(r=3\), \(\theta=15^\circ\) : \(\cos 15^\circ = 0{,}9659258\), \(\tan 15^\circ = 0{,}2679492\). Aire de base \(= \pi \cdot 64 = 201{,}062\). Aire de coupe \(= \pi \cdot 9 / 0{,}9659258 = 29{,}2738\). \(h_p = 5 \cdot (8-3)/8 = 3{,}125\), tronc de cône \(= (\pi \cdot 3{,}125/3)\cdot(64+24+9) = 317{,}432\), coin \(= 0{,}6667 \cdot 27 \cdot 0{,}2679492 = 4{,}823\). Volume \(V \approx 322{,}255\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il pour \(\theta = 0\) ? La coupe devient horizontale : \(S_u = \pi r^2\) et le terme de coin s'annule, ne laissant que le volume du tronc de cône.
Pourquoi \(\theta\) doit-il rester sous 90 degrés ? Lorsque \(\theta\) s'approche de \(90^\circ\), \(\cos\theta\) tend vers \(0\) et l'aire de la section oblique diverge vers l'infini : la configuration n'a alors plus de sens.
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? Dans celle que vous utilisez pour les longueurs. Si \(H\), \(R\) et \(r\) sont en centimètres, le volume est en centimètres cubes et les aires en centimètres carrés.
