この計算ツールでできること
このツールは、直円錐を斜めの平面で切断したときの形状を計算します。切断面は中心軸上の一点を支点として傾くため、円錐を斜めに切り取ります。つまり、一方が高くなり、反対側が低くなるような切り方です。残すのは下側の立体で、底は円形の底面、上は傾いた楕円形の切断面で囲まれています。求められる値は次の3つです。残った体積 \(V\)、傾いた切断面の面積 \(S_u\)、そして底面積 \(S_B\) です。すべて純粋な立体幾何学に基づいているため、どの国・地域でも同じように使え、長さの単位はひとつに統一すればどんな単位でも構いません。
使い方
円錐の高さ \(H\)、底面の半径 \(R\)、切断面が軸と交わる高さでの水平断面の半径 \(r\)、そして切断角 \(\theta\)（度）を入力します。3つの長さはすべて同じ単位で入力してください。体積はその単位の3乗、面積はその単位の2乗で出力されます。切断角は \(0 \le \theta < 90\) 度を満たす必要があり、\(R\) は正の値、\(r\) は 0 から \(R\) の間でなければなりません。
計算式の解説
底面積は単純に \(S_B = \pi R^2\) です。傾いた切断面は、水平方向に投影すると半径 \(r\) の円になる楕円です。\(\theta\) だけ傾けると面積が \(1/\cos(\theta)\) 倍に伸びるため、\(S_u = \pi r^2 / \cos(\theta)\) となります。体積は、底面の半径 \(R\) から支点の半径 \(r\) まで、垂直方向の高さ \(h_p = H(R-r)/R\) にわたる円錐台の体積と、傾きを補正する斜めのくさび項 \(\frac{2}{3}r^3\tan(\theta)\) を足し合わせて求めます。
$$V = \frac{\pi h_p}{3}\left(R^2 + R\,r + r^2\right) + \frac{2}{3}\,r^3 \tan(\theta)$$
計算例
\(H=5\)、\(R=8\)、\(r=3\)、\(\theta=15°\) の場合：\(\cos 15° = 0.9659258\)、\(\tan 15° = 0.2679492\)。底面積 \(= \pi \cdot 64 = 201.062\)。切断面積 \(= \pi \cdot 9 / 0.9659258 = 29.2738\)。\(h_p = 5 \cdot (8-3)/8 = 3.125\)、円錐台 \(= (\pi \cdot 3.125/3) \cdot (64+24+9) = 317.432\)、くさび項 \(= 0.6667 \cdot 27 \cdot 0.2679492 = 4.823\)。体積 \(V \approx 322.255\)。
よくある質問
\(\theta = 0\) のときはどうなりますか？ 切断面が水平になります。\(S_u = \pi r^2\) となり、くさび項は消え、円錐台の体積だけが残ります。
なぜ \(\theta\) は 90 度未満でなければならないのですか？ \(\theta\) が 90° に近づくと \(\cos(\theta)\) が 0 に近づき、傾いた切断面の面積が無限大に発散してしまうため、その状態は成立しません。
答えはどの単位で出ますか？ 入力した長さの単位に応じます。\(H\)、\(R\)、\(r\) をセンチメートルで入力すれば、体積は立方センチメートル、面積は平方センチメートルで出力されます。
