円錐台とは？
円錐台（えんすいだい、フラスタムとも呼ばれます）とは、円錐の先端を底面と平行に切り落としてできる立体のことです。半径Rの大きな底面と、半径rの小さな上面という2つの円形の面を持ち、それらは垂直な高さhで隔てられています。身近な例としては、バケツ、ランプシェード、紙コップ、植木鉢などが挙げられます。この計算ツールを使えば、体積・母線の長さ・側面積・表面積をまとめて一度に求められます。
使い方
底面の半径R、上面の半径r、垂直方向の高さhを、すべて同じ単位（cm、m、インチなど）で入力してください。結果として、体積は立方単位で、各表面積は平方単位で表示されます。直径しかわからない場合は、それぞれを2で割って半径を求めてから入力しましょう。なお、\(r = 0\) と入力すると、円錐台は元の完全な円錐に戻ります。
計算式の解説
体積は $$V = \frac{1}{3}\pi h\left(R^{2} + Rr + r^{2}\right)$$ で求められます。これは2つの円の面積を、交差項Rrで重み付けして平均したものと考えられます。母線の長さ（斜めの側面に沿った対角線の距離）は、三平方の定理から $$\ell = \sqrt{\left(R - r\right)^{2} + h^{2}}$$ となります。曲面である側面積は $$A_{L} = \pi\left(R + r\right)\ell$$ です。これに2つの平らな円（\(\pi R^{2}\) と \(\pi r^{2}\)）を加えれば、全体の表面積が得られます。
計算例
\(R = 5\)、\(r = 3\)、\(h = 8\) の場合：$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot \left(25 + 15 + 9\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot 49 \approx 410.50$$ 立方単位。母線の長さは $$\ell = \sqrt{\left(5-3\right)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{68} \approx 8.246$$ 側面積 \(= \pi \cdot \left(5+3\right) \cdot 8.246 \approx 207.24\) 平方単位、表面積はこれに \(\pi \cdot 25 + \pi \cdot 9 \approx 314.06\) を加えた値になります。
よくある質問
高さと母線の長さは同じですか？ いいえ、異なります。高さhは2つの円の間の垂直方向のまっすぐな距離で、母線の長さlは斜めの側面に沿った距離です。母線の長さは常に高さより長くなります。
どちらの半径を大きくするかは重要ですか？ いいえ。計算式はRとrについて対称なので、入れ替えても体積や表面積は同じ値になります。
どんな単位が使えますか？ 3つの入力値がすべて同じ単位であれば、どんな単位でも使えます。体積は3乗（立方単位）、面積は2乗（平方単位）で算出されます。
