Что такое усечённый конус?
Усечённый конус (его ещё называют конусным фрустумом) — это тело, которое получается, если у обычного конуса срезать остриё плоскостью, параллельной основанию. У него две круглые грани: большее нижнее основание радиусом \(R\) и меньшее верхнее радиусом \(r\), разделённые вертикальной высотой \(h\). В быту такую форму имеют вёдра, абажуры, стаканы и цветочные горшки. Этот калькулятор за один шаг выдаёт объём, образующую (наклонную высоту), боковую и полную площадь поверхности.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус нижнего основания \(R\), радиус верхнего основания \(r\) и перпендикулярную высоту \(h\) — все три значения в одних и тех же единицах (см, м, дюймы и т. д.). В результате вы получите объём в кубических единицах и все площади в квадратных единицах. Если вам известны только диаметры, сначала разделите каждый из них пополам. Если задать \(r = 0\), фигура снова превратится в полный конус.
Разбор формул
Объём вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}\pi\,h\left(R^{2} + Rr + r^{2}\right)$$ — это своего рода усреднение площадей двух кругов с учётом перекрёстного слагаемого \(Rr\). Образующая (наклонная высота), то есть длина по скошенной боковой стороне, находится по теореме Пифагора: $$\ell = \sqrt{\left(R - r\right)^{2} + h^{2}}$$ Боковая поверхность вычисляется как $$A = \pi\left(R + r\right)\ell$$ Если прибавить к ней площади двух плоских кругов (\(\pi R^{2}\) и \(\pi r^{2}\)), получим полную площадь поверхности.
Пример расчёта
Пусть \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 8\). Тогда $$V = \frac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot\left(25 + 15 + 9\right) = \frac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot 49 \approx 410{,}50$$ кубических единиц. Образующая \(\ell = \sqrt{(5-3)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{68} \approx 8{,}246\). Боковая площадь \(= \pi\cdot(5+3)\cdot 8{,}246 \approx 207{,}24\) квадратных единиц, а полная площадь дополнительно включает \(\pi\cdot 25 + \pi\cdot 9 \approx 314{,}06\).
Частые вопросы
Высота и образующая — это одно и то же? Нет. Высота \(h\) — это прямое вертикальное расстояние между двумя кругами, а образующая \(\ell\) идёт вдоль наклонной поверхности и всегда длиннее.
Важно ли, какой радиус больше? Нет — формулы симметричны относительно \(R\) и \(r\), поэтому если поменять их местами, объём и площади останутся прежними.
В каких единицах работает калькулятор? В любых, главное — чтобы все три значения были в одной и той же единице. Объём получится в кубе, а площади — в квадрате этой единицы.
